线性分组码

线性分组码（我们以汉明码为例）：

一些概念
1. 信息码
  1. 就是实际上要传输的数据的有效部分。
2. 监督码
  1. 用来监督传输的数据是否出错的部分。
3. 校正子（syndrome，又称校验子，伴随式）
  1. 可以用来判断传输的数据在哪一位发生错误。
以上概念不理解没关系，下面会举例子的。
我们来构建一个场景：
1. 最原始的时候，我们要传输数据，比如我们想传输字符“h”，实际上我们传递的是字符h对应的二进制码（这就是信息码）。
2. 一般情况下，我们都可以正常传输，可是呢突然有一天我们发现因为线路老化，我们本来传递的是h，结果接收端出现了字符a。虽然只是很少数的情况，但是一旦发生传输错误，就会对我们的项目造成巨大的损失。
3. 于是我们想，能不能找一种方法，判断我们接收到的字符是否出现错误（这样一旦当我们发现接收信息出现错误的时候，我们就可以发出指令，要求发送数据端重新发送数据。
4. 于是我们就想办法利用信息码，再在信息码的基础上添加一些冗余码（这些冗余码实际上就是监督码）的方式，按照一定的构造规则，构造了一个可以指明，接收的字符是否出错？以及如果出错，究竟是传输的这个字符的哪一位发生了错误？这样的一个序列。（就是我们说的校正子：用{Si}表示，“{}“代表他是一组数）
5. 举例如下：
  1. 我们的信息码为a6，a5，a4，a3
  2. 我们添加的冗余码为a2，a1，a0
  3. 构造规则：
    4. 当然，构造方法有很多种，你可以自己选择自己的构造规则，上述描述的这套构造规则，是对应汉明码的。
    5. 那么我们就可以找到，我们传输的数据错误的位置和校验子Si的关系。（这个关系是按照我们构造规则计算出来的，有了这个表格之后，我们只需要查表就可以知道，究竟是数据传输中哪一位发生错误了，而不需要再按照构造规则进行计算了。但一定要注意，这个表格只限于这个规则，即这个表格只限于汉明码。）
  4. 这样我们就有了一个确定传输过程是否发生错误的机制了。下面我们需要做的是，求出来我们在信息码（a6，a5，a4，a3）基础上，增添的冗余码（a2，a1，a0）。
  5. 由对应表我们看到，当校正子向量全零时，代表传输没有发生错误。那么，将这个关系，写成表达式的形式就是：
    2. 由上述方程组我们可以解出我们的冗余码。（就是监督位，下面我们将使用监督位。）
    4. 我们可以计算出监督位（汉明码）：
  6. 最后将信息码与监督码按照顺序进行排列，我们就得到了完整的汉明码。
上面我们感受了一个完整的发展过程，汉明码是线性分组码的特例而已，我们再来讨论一下线性分组码。
1. n = k + r （单位：位）
  1. n：码长
  2. k：信息码长
  3. r：监督码长
2. 构成线性分组码的条件（这两个式子的解释见4.c.vi）
  1. 2 ^ r – 1 >= n
  2. 或者：2 ^ r >= k + r + 1
3. 所谓线性码，是指信息位和监督位满足一组线性代数方程的码。我们已知
  1. 使用 + 代替异或操作，可以的到如下线性方程
  3. 使用矩阵乘法，可将上式化为
  5. 1. H矩阵可以分为上述两部分
    2. P为r x k阶矩阵
    3. Ir 为 r x r阶单位方阵
  6. 可记为：
    1. 其中H^T是H的转置，我们称H为监督矩阵（parity –check matrix）
    2. 只要H矩阵给定，编码时的监督码和信息码的关系就完全确定了。
    3. H的行数，等于监督码r的个数。
    4. H中每行的“1“的位置表示相应的码元之间存在监督关系。
      1. 实际上我们可以将监督关系，看作是偶校验。例如a6 a5 a4 a2，实际上a2就是为了使用偶校验，而计算出的值。也就是说，我们之前所说的S1 S2 S3，实质上都是偶校验，只是用于校验的校验位分别是a0 a1 a2而已。
      2. 这样也可以从侧面来说明监督码的个数，当监督码的个数是2个的时候，我们只能判断一个序列是否有错误。但是当监督码的个数增加时，我们就不仅能判断该序列是否发生错误，还能判断具体是哪一位发生错误。我们举例说明（汉明码本身已经是一个很好的例子了）：
        
        假设r=1，则2^2 – 1 =3也就是说，当序列的长度小于等于两位时，可以判断是哪一位出错。我们假设序列构成是 1bit信息码+2bit（偶）校验码，我们则我们可以构造一个规则，使得我们使用这个规则求得的校验子Si，可以指明具体是哪一位发生了错误。
        
        我们画图来分析
        
        分析过程如下（只考虑是一位出错，两位同时出错的概率很低。）
        
        如果我们接收的序列中发现 ac出错而cb没出错，我们可以简单看为是a位出错
        
        如果cb出错而ac没出错，我们可以简单看为是c位出错
        
        如果两个都出错，我们看为c出错
        
        上述内容可以简单解释2 ^ r – 1 >= n这个式子。
    5. 例如第一行1110100表示监督位a2是由a6 a5 a4之和决定的。
    6. H矩阵各行是线性无关的。
4. 同样的，我们来化简监督码的关系式
  1. 可改写为下述式子
  2. 1. 其中Q为一个k x r 阶矩阵
    2. Q = P的转置
    3. 当信息码给定后，用信息码序列乘上矩阵Q就可以得到监督码序列。
  3. 我们将Q的左边加上一个k x k 阶单位矩阵，就构成了生成矩阵G。
    2. 由生成矩阵可以产生整个码组，即：
    4. 如果找到了码的生成矩阵G，则编码方式就完全确定了。
    5. 具有[Ik | Q]形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。
    6. 由典型生成矩阵得出的码组，信息码的位置不变，监督码附加于其后，这种形式的码称为系统码。

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