从线性组合的角度理解三维运算

一、矩阵的向量化

利用分块矩阵概念，矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)可以按行划分为一组行向量

\[A=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \\ \end{pmatrix} \]

其中

\[\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i\in[1,2,\cdots,m] \]

或，按列划分为一组列向量\(A=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)，其中

\[\beta_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{pmatrix},j\in[1,2,\cdots,n] \]

因此，矩阵\(A\)可以看成是有序向量组\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)^T\)或\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)。

二、向量的线性组合

假设数域\(F\)上的线性空间\(V_m\)上的一组基为\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)\)，则\(V\)上任一向量\(\alpha\)可以表示为这组基的线性组合：

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\[\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m \]

三、矩阵乘法的向量式

同样利用分块矩阵概念，矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times s}\)的乘法可以表示为：

\[AB=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \\ \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix} \alpha_1B \\ \alpha_2B \\ \vdots \\ \alpha_mB \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}\gamma_j \\ \displaystyle\sum_{j=1}^na_{2j}\gamma_j \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{j=1}^na_{mj}\gamma_j \\ \end{pmatrix} \]

其中，按行划分，\(B=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)^T\)，\(AB\)可以看成：\(AB\)的第\(i\)行向量是\(B\)行向量组的线性组合，系数为\(A\)的第\(i\)行\(\alpha_i\)。

或

\[AB=A(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_s)=(A\theta_1,A\theta_2,\cdots,A\theta_s)=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_1b_{i1} & \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_2b_{i2} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^n\beta_ib_{is} \end{pmatrix} \]

其中，按列划分，\(B=(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_s)\)，\(AB\)可以看成：\(AB\)的第\(j\)列向量是\(A\)列向量组\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)的线性组合，系数为\(B\)的第\(j\)列\(\theta_j\)。

因此，矩阵乘法可以理解为：

\(AB\)是\(B\)行向量组的线性组合；
\(AB\)也是\(A\)列向量组的线性组合。

四、线性组合在三维计算中的应用

在三维计算中，我们常看到坐标左乘矩阵，或者坐标右乘矩阵：

1. 坐标左乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，\(AB\)的第\(i\)行向量是\(B\)行向量组的线性组合，系数为\(A\)的第\(i\)行\(\alpha_i\)。这时，\(R^n\)上的坐标可以表示为行向量\(v=(c_1,c_2,\cdots,c_n)\)，矩阵看成是一组行向量\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T\)，坐标左乘为

\[vA=v\cdot A = (c_1,c_2,\cdots,c_n)\cdot (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = \sum_{i=1}^nc_i\alpha_i \]

2. 坐标右乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，\(AB\)的第\(j\)列向量是\(A\)列向量组的线性组合，系数为\(B\)的第\(j\)列\(\theta_i\)。这时，\(R^n\)上的坐标可以表示为列向量\(v^T=(c_1,c_2,\cdots,c_n)\)，矩阵看成是一组列向量\(A=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n )\)，坐标右乘为

\[Av^T=A\cdot v = (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\cdot(c_1,c_2,\cdots,c_n) = \sum_{i=1}^nc_i\beta_i \]

3. 使用线性组合的方式来表示点与矩阵乘法

由以上坐标左乘矩阵与坐标右乘矩阵讨论可以看出，我们在计算中使用的坐标与矩阵乘法，无论左乘还是右乘，都是点坐标分量与向量组的线性组合关系，左乘和右乘只是约定了向量的书写方式（行或列）。

从而，矩阵可以看成是有序向量组\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)，其中\(\alpha_i\)可以为行或列向量，我们可以定义矩阵与点坐标的乘法为

\[v\cdot A = A\cdot v = (c_1,c_2,\cdots,c_n)\cdot (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots,c_n) = \sum_{i=1}^nc_i\alpha_i \]

这样，点与矩阵不论左乘还是右乘，结果都是一样的。由此，消除了矩阵存储的行列模式问题，并赋予了矩阵的几何意义。

其中，上述运算满足与矩阵乘法的结合律：

\[(v\cdot A)B=(\sum_{i=1}^nc_i\alpha_i)B=\sum_{i=1}^nc_i\alpha_iB=\sum_{i=1}^nc_i(AB)_i=v\cdot (AB) \]

不过，矩阵乘法间乘法还是与矩阵的行列模式相关，一般的\(AB\neq BA\)，所以需要注意矩阵选择的一致性。

\[(A \cdot v)B=(\sum_{i=1}^nc_i\beta_i)B\neq \sum_{i=1}^nc_i\beta_iB \]

其中\((\beta_i)_{n\times 1}B_{n\times n}\)无法相乘，列模式下为：

\[B(A \cdot v)=B((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots,c_n))=B(\sum_{i=1}^nc_i\beta_i)=\sum_{i=1}^nc_i(B\beta_i)=\sum_{i=1}^nc_i(BA)_i \]

所以，还是需要注意左乘与右乘的选择，它关系的矩阵的运算。

4. 几何解析

一组基就是一个空间坐标系，每一个基就是坐标轴向量；
点坐标就是在该坐标系下各坐标分量；

假设有两个空间坐标系（两组基）\(M_1, M_2\)，点\(v\)在各自坐标系下的坐标为\(v_1,v_2\)，有

行向量模式

\[v_1M_1 = v_2M_2 \]

\[v_1 = v_2M_2M_1^{-1} \]

\[v_1M_1M_2^{-1} = v_2 \]

其中:

\(M_2M_1^{-1}\)是点\(v\)在空间坐标系2点坐标\(v_2\)到空间坐标系1点坐标\(v_1\)的过渡矩阵。
\(M_1M_2^{-1}\)是点\(v\)在空间坐标系1点坐标\(v_1\)到空间坐标系2点坐标\(v_2\)的过渡矩阵。

列向量模式

\[M_1 v_1 = M_2 v_2 \]

\[v_1 = M_1^{-1}M_2 v_2 \]

\[M_2^{-1}M_1 v_1 = v_2 \]

其中:

\(M_1^{-1}M_2\)是点\(v\)在空间坐标系2点坐标\(v_2\)到空间坐标系1点坐标\(v_1\)的过渡矩阵。
\(M_2^{-1}M_1\)是点\(v\)在空间坐标系1点坐标\(v_1\)到空间坐标系2点坐标\(v_2\)的过渡矩阵。

行列模式之间为转置关系

\[(v_1M_1)_r^T=(M_1v_1)_c \]

五、结语

点坐标与矩阵的乘法从线性组合的角度看，就是：

矩阵是一组基；
点坐标是点在这组基上的组合系数；

在三维空间中，可以进一步理解为：

一组基就是一个局部空间坐标系，每一个基就是坐标轴向量；
点坐标就是各坐标轴的分量；
坐标与矩阵相乘是坐标轴向量的线性组合。

使用向量（基，坐标轴向量）来认识矩阵，把握了空间的本质，坐标是各分量在基上的度量，它反映了相对于基向量的线性相关度。