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这是《机器学习中的数学基础》系列的第2篇。
- 铺垫
在介绍各种“高大上”的名词之前，我们先来看下向量的几何意义。现在有一个2维向量w=（2,1），把它画在坐标轴上就是这个样子的：
我们可以把它看成是从原点（0，0）出发，终点是（2,1）的一段路径或者一个箭头，也可以把向量w抽象为1个点（因为所有的向量都是从原点出发，可以忽略掉路径），这个点的坐标（2,1）就是它的向量坐标。
接下来我们来看向量加法，用公式表示是这样子的：
就是把两个向量对应的元素相加，很容易理解，对吧。那向量加法的几何意义是什么呢？假设另一个向量y=（1，-2），我们把w+y画在坐标轴上：
这次我们用动态的观点来看w+y：首先我们进行向量w的运动，从O点跑到A点；再进行向量y的运动，从A点跑到D点（我们把向量y从OB平移到了AD），最后向量OD就是w+y的结果了。
思路是有了，那到底该怎么计算呢？我们把w和y的运动分解成水平方向的运动和垂直方向的运动。那从水平方向上看，w运动了2，y运动了1，一共运动了2+1=3；从垂直方向看，w运动了1，y运动了-2，一共运动了1-2=-1.所以D点的坐标就是（3，-1）。
加法搞定之后，我们再来看乘法。确切地说，是数乘。啥意思呢？就是向量和一个数相乘。我们还是以向量w为例，来看看2w和1/2w的几何含义：
可以看到，2w就是沿着w的方向把它拉伸了2倍，而1/2w就是沿着w的方向把它压缩了一半。
- 精彩的部分来了
有了上面长长的铺垫，神奇的一幕马上就要发生了！我将用一个公式来理清基、线性组合和向量空间这三个概念。
在此之前，让我们先平复一下心情，再回过头来看看向量w（2,1）：
现在，需要一个思维跳跃，我们把w也看成是两个向量的和。是哪两个向量的和呢？从上图中可以看出，w可以被认为先水平运动2个单位，再垂直运动1个单位。所以w是水平方向的向量2i和垂直方向的向量j的和。其中，向量i=（1,0），向量j=（0,1）。因此，w可以表示为：
我们把i，j就叫做构成平面的一组基（可以看出，任意向量都可以由i和j构造）。而2i+j就叫做i和j的一种线性组合。为了更加一般化，我们把i和j的系数分别设为a和b（a、b可取任意值），那么ai+bj就被叫做i和j的线性组合。从几何上说，ai+bj所张成（形成）的空间就叫做向量空间，也叫做线性空间。对于二维向量来说，所形成的向量空间就是整个平面。
以上就是全部内容，你都看明白了吗？有不清楚的地方可以及时评论哦。