线性代数(一) 线性组合, 线性相关与空间的基

先让我们来考虑这个情况: 在 xy 坐标系上, 我们选取了两个向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , 他们分别是 x 轴和 y 轴的单位向量, 将 $\vec{i}$ 拉伸 3 倍, 将 $\vec{j}$ 反向拉伸 2 倍, 然后相加, 这样我们得到了一个新的向量 (3, -2). 通过这种拉伸并相加的方式, 我们就可以得到这个平面里的所有向量了.
那么, 如果我们换一组向量来拉伸会如何呢?
一般情况下, 我们任然是可以得到这个平面的所有向量的, 但是与之前相比, 新得出的向量的表达会有所变化. 比如我们换用 (1, 0) 和 (0, 2) 两个向量来替换 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , 之前 (3, -2) 这个向量的新表达就是(3, -1).

在上面的讨论过程中, 我们得到了一个重要概念: 两个数乘向量的和被称为线性组合.
”线性” 这个字样我们如何理解? 两个数, 当其中一个被固定, 另一个可以取任意值的时候, 所有新构成的向量的终点会形成一条直线.

一对给定向量的所有线性组合被称为这对向量张成的空间.
在2D的平面里, 一般情况这个空间就是整个平面. 但是当两个向量共线的时候, 这个空间会被压缩为1条线. 当两个向量都是零向量时, 这个空间会被进一步压缩, 变成一个点.

现在我们单独考虑共线的情况. 原来只有一个向量的时候, 通过拉伸压缩就可以得到一条直线, 这时我们再引入一个变量, 但是他对张成的空间没有任何帮助, 这个空间仍然是之前的那条直线. 这样的两个向量, 我们对他们有一个专门的称呼, 就是著名的线性相关!
新加入的向量可以表示为其他向量的线性组合, 因为这个新加入的向量已经在张成的空间里了.
上面的情况可以考虑成最开始有一个向量和一个零向量来张成空间, 这个共线的向量刚好落在空间中
$\vec{v_2} = a\vec{v_1} + b\vec{0}$
相应的, 加入这个变量后, 张成的空间如果会增加新的维度, 那么这个向量和之前选定的两个向量时线性无关的.

之前我们一直使用的两个向量 (比如 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) 实际上就是这个空间的一组基.
空间的基的集合: 张成该空间的一组线性无关的向量的集合.

这组文章更多的是课堂笔记的性质, 是一个知识点的整理. 文章的内容来自 3Blue1Brown 的系列视频 “线性代数的本质”, 推荐各位看一下. 作者主张用图形化的方式来解释线性代数的各种概念, 而不是通过数学推导. 整个过程非常形象, 视频的观感也很好. 所以文章中就不再特意插图了(其实就是太费劲又不够形象), 整理下来的概念都不是很复杂, 大家稍微想象一下应该就能理解了.

线性代数(一) 线性组合, 线性相关与空间的基

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