信息论与编码：线性分组码

线性分组码

1. 线性分组码

分组码：信息划分成固定长度\(k\)的分组，各个分组依次编码。

\(\boldsymbol{u} = (u_0, \dots, u_{k-1})\)编码为\(\boldsymbol{v} = (v_0, \dots, v_{n-1})\)，其中\(n \gt k\)，\(\boldsymbol{v}\)称为码字（codeword），码字两两不同。

\((n, k)\)分组码（block code）：\(2^{k}\)个码字构成的集合称作一个\((n, k)\)分组码。

编码率（code rate）：\(R = k / n\)

线性分组码：设\(V\)是\(\text{GF}(2)\)上所有\(n\)元组构成的向量空间，若一个\((n, k)\)分组码包含的\(2^{k}\)个码字构成\(V\)的一个\(k\)维子空间，则称之为线性分组码。

1.1 生成矩阵和校验矩阵

一个\((n, k)\)分组码\(\mathcal{C}\)中有\(k\)个线性无关的码字：\(\boldsymbol{g}_{0}, \dots, \boldsymbol{g}_{k-1}\)，我们可以构造矩阵：
\[ \bold{G} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{g}_0\\ \boldsymbol{g}_1\\ \vdots\\ \boldsymbol{g}_{k-1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{0,0} & g_{0,1} & \cdots & g_{0, n-1}\\ g_{1,0} & g_{1,1} & \cdots & g_{1, n-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{k-1,0} & g_{k-1,1} & \cdots & g_{k-1, n-1}\\ \end{bmatrix} \]
对于任何一个信息\(\boldsymbol{u} = (u_0, \dots, u_{k-1})\)，其对应的码字为\(\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} \cdot \bold{G}\)

\(\bold{G}\)称为\(\mathcal{C}\)的生成矩阵（generator matrix），\(\mathcal{C}\)是\(\bold{G}\)的行空间。

\(\bold{G}\)的零空间（null space）是一个\(n - k\)维子空间，同时也是\(\mathcal{C}\)的对偶空间，用\(\mathcal{C}_d\)表示。\(\mathcal{C}_{d}\)本身也是一个线性分组码，\(\mathcal{C}_{d}\)的生成矩阵为：
\[ \bold{H} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{h}_0\\ \vdots\\ \boldsymbol{h}_{n-k-1}\\ \end{bmatrix} \]
\(\bold{H}\)也称作\(\mathcal{C}\)的校验矩阵（parity matrix）。

线性系统分组码：
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Redundant check part} & \text{Message part}\\ \hline n - k \text{ digits} & k \text{ digits}\\ \hline \end{array} \]
如果分组线性码的码字可以分为两个部分，前\(n - k\)比特为冗余比特（用于纠错和检错），后\(k\)个比特是消息比特，与原始消息完全相同，则称这种线性分组码为线性系统分组码（linear systematic block code）。

生成矩阵为：
\[ \bold{G} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{g}_{0}\\ \boldsymbol{g}_{1}\\ \vdots\\ \boldsymbol{g}_{k-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{0,0} & p_{0,1} & \cdots & p_{0, n-k-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ p_{1,0} & p_{1,1} & \cdots & p_{1, n-k-1} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{k-1,0} & p_{k-1,1} & \cdots & p_{k-1, n-k-1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bold{P}, \bold{I}_{k} \end{bmatrix} \]
\(\boldsymbol{u} = (u_{0}, \dots, u_{k-1})\)，\(\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u}\cdot \bold{G} = (v_{0}, \dots, v_{n-1})\)，其中\((v_{0}, \dots, v_{n-k-1}) = \boldsymbol{u} \cdot \bold{P}\)，\((v_{n-k}, \dots, v_{n-1}) = \boldsymbol{u}\)

任何一个生成矩阵\(\bold{G}'\)都可以通过先做行变换，再做列置换得到上述形式的\(\bold{G}\)，称\(\bold{G}\)是\(\bold{G}'\)的组合等价矩阵（combinatorially equivalent matrix），设\(\bold{G}'\)和\(\bold{G}\)对应的线性分组码分别是\(\mathcal{C}\)和\(\mathcal{C}'\)，称\(\mathcal{C}'\)是\(\mathcal{C}\)的组合等价码（combinatorially equivalent code）。

\(\bold{G}\)对应的校验矩阵是\(\bold{H} = \begin{bmatrix}\bold{I}_{n-k}, \bold{P}^{T}\end{bmatrix}\)

1.2 线性分组码的差错检测

\(\boldsymbol{v} = (v_{0}, \dots, v_{n-1})\)：发送端的码字

\(\boldsymbol{r} = (r_{0}, \dots, r_{n-1})\)：接收端的“码字”

\(\boldsymbol{e} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{r}\)：差错模式（error pattern），\(\boldsymbol{e}\)中\(1\)的位置就是发生差错的位置，可能的非零差错模式有\(2^{n}-1\)个。

\(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{r} \cdot \bold{H}^{T} = \boldsymbol{e} \cdot \bold{H}^{T}\)：syndrome

\(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{0}\)当且仅当\(\boldsymbol{r} \in \mathcal{C}\)，所以

• 若\(\boldsymbol{s} \neq \boldsymbol{0}\)，\(\boldsymbol{r}\)不是码字，传输过程必然发生了差错
• 若\(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{0}\)，接收\(\boldsymbol{r}\)。实际上传输过程可能发生差错也可能没有发生差错，如果发生差错，即\(\boldsymbol{e} \neq \boldsymbol{0}\)，则\(\boldsymbol{e}\)必定是一个非零的码字。也就是说，发生差错当且仅当\(\boldsymbol{e}\)等于某一个非零的码字，这样的\(\boldsymbol{e}\)一共有\(2^{k} - 1\)个，称之为不可检测差错模式（undetectable error pattern）

1.3 线性分组码的汉明重量、汉明距离

汉明重量（Hamming weight）：\(\boldsymbol{v} = (v_0, \dots, v_{n-1})\)是\(\text{GF}(2)\)上的\(n\)元组，\(\boldsymbol{v}\)的重量\(w(\boldsymbol{v})\)定义为\(\boldsymbol{v}\)中\(1\)的数量

重量分布（weight distribution）：\(\mathcal{C}\)是一个\((n, k)\)线性分组码，对于\(0 \le i \le n\)，令\(A_{i}\)是\(\mathcal{C}\)中汉明重量为\(i\)的码字的数量，称\(A_{0}, \dots, A_{n}\)是\(\mathcal{C}\)的重量分布

最小重量（minimum weight）：\(w_{\min}(\mathcal{C}) = \min \left\{w(\boldsymbol{v}): \boldsymbol{v} \in \mathcal{C}, \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}\right\}\)

对于一个离散无记忆的二元对称信道，假设单个比特的差错概率是\(p\)，出现不可检测差错模式的概率是：
\[ P_{u}(E) = \sum_{i=1}^{n}A_{i}p^{i}(1-p)^{n-i} \]
所以重量分布唯一决定了出现不可检测差错模式的概率，也就是线性分组码本身决定了这一概率。

汉明距离（Hamming distance）：\(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\)是\(\text{GF}(2)\)上的\(n\)元组，\(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\)之间的距离\(d(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})\)定义为\(\boldsymbol{u}\)和\(\boldsymbol{v}\)上不同的位置的数量，\(d(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) = w(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})\)

汉明距离满足三角不等式。

最小距离（minimum distance）：\(d_{\min}(\mathcal{C}) = \min\left\{d(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}): \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathcal{C}, \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{w} \right\}\)

最小距离等于最小重量：
\[ \begin{align*} d_{\min}(\mathcal{C}) &= \min\left\{d(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}): \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathcal{C}, \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{w} \right\}\\ &= \min\left\{w(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}): \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathcal{C}, \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{w} \right\}\\ &= \min\left\{w(\boldsymbol{x}): \boldsymbol{x} \in \mathcal{C}, \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} \right\}\\ &= w_{\min}(\mathcal{C}) \end{align*} \]
\(\mathcal{C}\)的重量分布与\(\mathcal{C}\)的校验矩阵\(\bold{H}\)的关系：

定理：\(\mathcal{C}\)是一个\((n, k)\)线性分组码，其校验矩阵是\(\bold{H}\)。若\(\mathcal{C}\)中存在重量为\(i\)的码字，则\(\bold{H}\)中存在\(i\)列，它们的和为\(\bold{0}\)；若\(\bold{H}\)中存在\(i\)列，它们的和为\(\bold{0}\)，则\(\mathcal{C}\)中存在重量为\(i\)的码字。

定理：\(\mathcal{C}\)是一个\((n, k)\)线性分组码，其校验矩阵是\(\bold{H}\)。\(\mathcal{C}\)的最小重量等于\(\bold{H}\)中最小的满足和为\(\bold{0}\)的列的数量。

定理：\(\mathcal{C}\)是一个\((n, k)\)线性分组码，其校验矩阵是\(\bold{H}\)。若\(\bold{H}\)中不存在\(d-1\)或更少的列，使得这些列的和为\(\bold{0}\)，则\(\mathcal{C}\)的最小重量至少是\(d\)。

第三个定理给出了线性分组码的最小重量的一个下界。

\(\mathcal{C}\)是一个线性分组码，对于任意的\(\boldsymbol{v} \in \mathcal{C}\)，\(\mathcal{C} + \boldsymbol{v} = \left\{\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}: \boldsymbol{u} \in \mathcal{C} \right\} = \mathcal{C}\)，所以\(\mathcal{C}\)的重量分布也是关于\(\mathcal{C}\)中任意一个码字的距离的分布。

检错能力：线性分组码\(\mathcal{C}\)的最小距离是\(d_{\min}(\mathcal{C})\)，差错数量小于\(d_{\min}(\mathcal{C})\)的差错模式\(\boldsymbol{e}\)保证可以被检测出来，差错数量大于或等于\(d_{\min}(\mathcal{C})\)的差错模式\(\boldsymbol{e}\)不保证被检测出来，所以称\(d_{\min}(\mathcal{C}) - 1\)是\(\mathcal{C}\)的检错能力（error-detecting capability）。

保证被检测出来的非零差错模式的数量是：
\[ \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{d_{\min}(\mathcal{C})-1} \]

1.4 线性分组码的译码

对于一个\((n,k)\)线性分组码\(\mathcal{C}\)，在译码端接收到的\(n\)元组\(\boldsymbol{r}\)有\(2^{n}\)种（即\(\text{GF}(2)\)上的所有\(n\)元组中构成的向量空间\(V\)的大小），而\(\mathcal{C}\)中的码字只有\(2^{k}\)个，所以译码就是将\(V\)划分成\(2^{k}\)个部分，每个部分包含恰好一个码字。

下面是一种代数译码方案：

1. 构造一个\(2^{n-k} \times 2^{k}\)的二维阵列（array）
2. 将\(2^{k}\)个码字\(\boldsymbol{v}_{0}, \cdots, \boldsymbol{v}_{2^{k}-1}\)填入第\(0\)行，其中\(\boldsymbol{v}_{0} = \boldsymbol{0}\)
3. 对于\(1 \le j \lt 2^{n-k}\)，任意选择一个没有在第\(0\)到\(j-1\)行出现过的\(\boldsymbol{e}_{j} \in V\)，在第\(j\)行的各个位置填入\(\boldsymbol{e}_j + \boldsymbol{v}_{i}\)

下图展示了这个二维阵列的构成：
\[ \begin{array}{c | c c c c c} \hline \text{Cosets} & \text{Coset leaders}\\ \hline \mathcal{C} & \boldsymbol{e}_{0} = \boldsymbol{v}_{0} = \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{v}_{i} & \cdots & \boldsymbol{v}_{2^{k}-1}\\ \boldsymbol{e}_1 + \mathcal{C} & \boldsymbol{e}_{1} & \cdots & e_{1} + \boldsymbol{v}_{i} & \cdots & \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{v}_{2^{k}-1}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \boldsymbol{e}_{2^{n-k}-1} + \mathcal{C} & \boldsymbol{e}_{2^{n-k}-1} & \cdots & e_{2^{n-k}-1} + \boldsymbol{v}_{i} & \cdots & \boldsymbol{e}_{2^{n-k}-1} + \boldsymbol{v}_{2^{k}-1}\\ \hline \end{array} \]

这样得到的二维阵列称为\(\mathcal{C}\)的标准阵列（standard array），每一行都是\(\mathcal{C}\)的一个陪集，\(\boldsymbol{e}_{j}\)是第\(j\)行的陪集首（coset leader）。标准阵列满足以下性质：

1. 每一行的任何两个向量的和都是一个码字
2. \(V\)中的每个向量都在标准阵列中出现恰好一次
3. 每一行的向量都具有相同的syndrome
4. 不同行的syndrome不同

标准阵列的\(2^{k}\)列是\(V\)的一个划分，每个部分恰好有一个码字，当接收到\(\boldsymbol{r}\)时，若\(\boldsymbol{r}\)在第\(i\)列，则将其译码为\(\boldsymbol{v}_{i}\)。

对于一个码字\(\boldsymbol{v}_{i}\)：

• 若差错模式为某一个陪集首\(\boldsymbol{e}_{j}\)，则\(\boldsymbol{r}\)在第\(i\)列
• 若差错模式不是陪集首，则\(\boldsymbol{r}\)不在第\(i\)列

所以，使用标准阵列译码，译码正确当且仅当差错模式是一个陪集首。

为了减少译码错误的概率，陪集首应该选择最可能出现的差错模式。对于离散无记忆的二元对称信道，差错模式的重量越小，出现的概率越大，所以，在构建标准阵列时，每次选择陪集首，都从\(V\)中剩下的\(n\)元组中选择重量最小的，这样得到的标准阵列称为最优标准阵列（optimal standard array），基于最有标准阵列的译码是最小距离译码。

纠错能力：

对于线性分组码\(\mathcal{C}\)，令\(t = \lfloor(d_{\min}(\mathcal{C}) - 1) / 2\rfloor\)。对于一个最优标准阵列，所有重量小于或等于\(t\)的\(n\)元组都会被选作陪集首，且至少有一个重量为\(t+1\)的\(n\)元组不能称为陪集首。所以，所有差错数量小于或等于\(t\)的差错模式都能被纠正，差错大于\(t\)的错误不保证能纠正，我们称\(t\)是\(\mathcal{C}\)的纠错能力（error-correction capability）

伴随式译码（syndrome decoding）：

得到标准矩阵后，仅保留一个\(2^{n-k} \times 2\)的阵列，第一列是各个陪集首，第二列是各个陪集首对应的syndrome。接收到\(\boldsymbol{r}\)后，译码过程为：

1. 计算\(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{r} \cdot \bold{H}^{T}\)
2. 遍历陪集首，找到满足syndrome等于\(\boldsymbol{s}\)的\(\boldsymbol{e}\)
3. 将\(\boldsymbol{s}\)译码为\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{s} + \boldsymbol{e}\)

若只考虑重量小于\(t\)的差错模式，则维护的表的大小为：
\[ N_{t} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{t} \]
译码过程为：

1. 计算\(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{r} \cdot \bold{H}^{T}\)
2. 遍历陪集首，找满足syndrome等于\(\boldsymbol{s}\)的\(\boldsymbol{e}\)。若能找到，则译码为\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{s} + \boldsymbol{e}\)；否则返回译码错误，此时可以检测到错误，但无法纠正。