高数题型总结-无穷级数

7. 无穷级数

7.1 正项级数敛散性的判定

关于正项级数的敛散性的判别法一共有四个

1. 先考虑比值法
2. 再考虑根值法
3. 比较判别法,或者是混合使用等价无穷小
4. 比较判别法的极限形式
5. 可以考虑用定义, 性质或者基本定理进行判定

李王全书: P247.例2,3,5,6

7.2 交错级数敛散性的判定

判别交错级数的敛散性的方法

1. 莱布尼茨判别准则
2. 当原级数不能满足莱布尼茨条件时, 可考虑极限加括号以后的级数或考察其绝对值级数. 利用绝对收敛的级数一定收敛

李王全书: P250.例7

7.3 任意项级数的敛散性判定

1. 利用绝对收敛的级数一定收敛
2. 如果绝对值级数发散, 当然不能断定原级数一定发散, 此时要判定原级数的敛散性往往要利用级数的性质或定义

李王全书: P251.例9,10,17,19

7.4 有关常数项级数的证明题与综合题

李王全书: P256.例20,21,24,25,26,28

7.5 求幂级数的收敛域

先求收敛半径R, 再考虑收敛区间的两个端点的敛散性, 便可求得收敛域

李王全书: P265.例30,31,32

7.6 将函数展开为幂级数

1. 尝试用间接的方法, 利用给出的几个常用的麦克劳林展开式, 通过适量的变量代换或借助幂级数性质(四则运算, 逐项求导, 逐项积分)将函数展开为幂级数
2. 直接法: 利用各阶导数, 写出泰勒级数, 再判断余项是否为0

李王全书: P268.例33,34,35,36

7.7 级数求和

1. 利用级数定义求部分和, 然后求极限得级数和
2. 借助于幂级数的和函数
3. 利用麦克劳林展开式及幂级数的性质

李王全书: P270.例37,38,39,42,43,

7.8 有关收敛定理的使用

熟悉收敛定理

李王全书: P277.例44

7.9 将函数展开为傅里叶级数

题型包括展开为:

1. 将函数展开为傅里叶级数
2. 分别展开为正弦级数和余弦级数
3. 展开为固定区间[-l,l]的级数

李王全书: P278.例47,48,49