第一讲 无穷级数的概念

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一，无穷级数的定义

• 
• 通项：
• 部分和：
• 余项：
• 离散的和：
• 连续的和（反常积分）：

二，级数的收敛和发散

• 收敛：，s为任意数

1. 余项
2. 
3. ，其中截断误差为

• 发散：，或者不存在

三，等比级数，（）的敛散性

• 展开：
• 通项：，公比：
• 假设：

1. 等比数列求和公式
2. 
3. 当时，，，级数收敛
4. 当时，，，级数发散

• 假设：，级数发散
• 假设：

1. 展开：
2. 当n为奇数时，，
3. 当n为偶数时，，
4. 不存在，级数发散

• 总结：只有当时，等比级数收敛，，a是首项

四，收缩级数的敛散性

• 展开：
• 部分和：
• 求极限：
• 级数收敛

五，调和级数的敛散性

• 展开：
• 部分和没有表达式
• 
• 证明，如图：
•