几种基本级数
\(\bigstar\)几何级数
\(\sum_{i=0}^n a*q^i\) a!=0 q叫做公比
注意这里i一定时从0开始|首相一定是a
- |q|=1 时 原式=a*n 发散
- |q|<1 时 原式=\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a}{q-1}-\frac{q^n}{q-1}=\frac{a}{q-1}\)收敛
- |q|>1时 原式极限不为零，发散
\(\bigstar\) 调和级数 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\)
调和级数是发散的不用多讲
\(\bigstar\) 不知道叫什么..\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}\)
-
当 q<=1 时 发散
-
q>1 时收敛
这个证明可以根据比较审敛法和后面的幂级数和的性质证明
级数基本运算性质
- 收敛*k仍收敛
- 收敛+收敛=收敛 收敛+发散=发散 但是发散+发散不确定
- 若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s \sum_{n=1}^{\infty} v_n=\sigma\quad则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n+v_n=s+\sigma $
- 收敛级数加若干括号仍收敛，但是反之不成立(加括号收敛推不出原级数收敛)
普通级数的各种定理
级数收敛的必要条件
\(\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\)
正向级数的审敛定理
比较审敛法
若 \(u_n<v_n 若级数v_n 收敛则u_n收敛 若u_n发散则v_n发散\)
\(\bigstar\) 通常用比较审敛法的极限形式
-
$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n}=l $
当\(0\le l <\infty\)时 若v_n收敛则u_n收敛
当\(0<l<=\infty\)时 v_n发散则u_n发散
比值审敛法
\(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)
若\(\rho=1\) 则此方法不能用
若\(\rho<1\) 则u_n 级数收敛
若\(\rho>1\) 则级数发散
根值审敛法
简单来说就是开根号
\(\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]u_n=\rho\)
结论同上
极限审敛法
就是比值审敛法+幂级数的敛散性判定而已
交错级数审敛定理
形如\(\lim_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n}*u_n\)为交错级数
莱布尼兹定理
-
数列u_n单减
-
极限为0
则收敛
绝对收敛和条件收敛
通常判定方法
若|u_n| 收敛则u_n必定收敛
若 u_n收敛而|u_n|不收敛则称u_n条件收敛
通常结合交错级数来出题大概
幂级数
形如\(\sum_{n=0}^{\infty} a*(x-x_0)^n\)叫幂级数
一般\(x_0=0\)
阿贝尔定理|推论
若幂级数不仅不在0这收敛但也不是在整个数轴上收敛则必有一个确定的x=R存在
- 当|x|<R 幂级数绝对收敛
- 当|x|>R 幂级数发散
- 当|x|=R 散敛性不确定
R叫做收敛半径，开区间（-R,R）为收敛区间
收敛域则是要先判断x=+-R时是否收敛然后再并上开区间
和函数
\(s(x)=\sum_{n\rightarrow\infty} a_n*x^n\) 则s(x)为幂级数的和函数|这里x是自己定的，题目可能就是一个常数
和函数在收敛区间可导，且都具有相同的收敛半径（收敛域不一定相同）<==> 和函数在收敛区间内有任意阶导数
通常结合积分来使用