1.数项级数的概念和基本性质
（本随笔的图片大多来源于上海交大乐经良教授的课件，本人不是交大的~）
无穷级数就像高中的数列一样，但是却要我们钻研的方向不同，高中叫我们求收敛于什么，大学里让我们研究收敛性。
假设Sn的趋于无穷的极限存在则称Sn收敛，不存在则叫做发散，收敛时Sn+1-Sn 叫做余和，余和为0。
这里举出一些常用的级数收敛条件：
等比级数：
{当q>=1时级数发散，当0<q<1时级数收敛}
p级数：
和等比级数恰恰【相反】{当p>1时级数收敛，p<1时级数发散}
调和级数：
从形式上就可以看出这是p级数的特殊形式，那么理所当然这里就是发散的
这三个级数是比较基本的级数，在判断一些复杂级数的敛散性时要借助这三个级数来辅助判断
接下来说一些级数的基本性质：
- 线性：
- （个人称之为稳定性~~~）
- （个人称之为可拆性~~~）
这虽然时基本性质，但再特殊的性质也是从基础出发的，所以要记牢这三个性质！！！
接下来谈谈级数收敛的必要条件（终于讲怎么证明了~，注意这里是必要不是充要！！）
这里的关系可以这么理解，级数的和要是收敛的话，假设就等于一个固定有限的值，这个值要给无穷多的数分，就像让全世界饥渴的跳蚤去吸食一只干瘦的牛犊一样，每只跳蚤吸到的血几乎为0；
现在换个角度看，就是从跳蚤的角度看，每只跳蚤单独吸到的血都趋于0，但是这些跳蚤在一起吸食时（一起合作）在吸食到一定程度时中变异了，仿佛有了替身能力一般，跳蚤们可以将牛血反复复制，从而造出无穷无尽的牛血。这便是即使
每一项的极限为0，但是一起行动时引起了质变，导致了无穷级数的和的发散；
那么假如是蚂蝗而且吸得是医院的血库，那蚂蝗一边在吸，医院一边又在供给，就像服务员给乘客递上葡萄酒和鱼子酱那样的给蚂蝗供血，可想而知蚂蝗吸得血将会是无穷大！！！！
2.正项级数及其敛散性的判别法
正项级数，也是研究的比较多的级数，我直接放定义先了
这个很明显就是缩小了讨论范围了，现在只讨论正数了，但是这就像是和蝉一起埋在地底的树根一样，越分支越多，接下来要学的只会更多。
下面开始研究正项级数敛散性的判别法
第一种是比较判别法：
这种判别法显而易见，就是上面那个跳蚤和蚂蝗的例子vn就是蚂蝗，un则是跳蚤，要是连蚂蝗vn不能像夸父喝干黄河水一样得喝干牛犊的血的话，因为跳蚤 比蚂蝗小
，那么跳蚤un也不能喝完牛犊身上的血
；相反要是连跳蚤都可以喝完的话，那么蚂蝗也一定可以喝完牛犊的血
换一种极限的形式来看：
第二种判别法是比值判别法：
P.S. 这里要注意公式里的内容，比较判别法里面的极限形式和这个很像，但是比值判别法是前一项和后一项的对比，换句话说，正项级数要是项递减的话就是收敛的，递增的话就是发散的。好比《JOJO石之海》里的绿色婴儿，你在靠近绿色婴儿的过程中自己一直在减小一半，这样的话你永远也达不到绿色婴儿，只能无限接近。