4. 向量代数与空间解析几何
4.1 关于向量的一些基本的运算
题型: 包括计算点积, 叉积, 混合积, 模, 夹角, 方向余弦, 证明垂直, 平行, 共面, 以及几个算符他们的性质
记住定义就行, 无脑计算没有什么难度
李王全书: P126. 例1,2,3,4,6,7
4.2 建立平面方程
题型: 求平面方程
- 已知一点, 和平面的法向量, 可以确定平面的方程
- 已知直线方程(即可以得到直线上一点), 和平面的法向量, 同样可以确定平面的方程
- 已知两直线与平面平行, 还有一点, 可以用三向量面来确定平面的方程
- 已知直线方程(即可以得到平面束方程), 和一个与该平面垂直的平面, 那么可以用两平面垂直确定平面束方程中的参数
- 已知直线方程(即可以得到直线上一点), 和一个与该平面垂直的平面, 那么先得到平面的法向量后带入点坐标构造方程即可
李王全书: P131. 例8,9
4.3 建立直线方程
题型: 求直线方程
- 得到直线上一点和直线的方向向量即可写出直线方程
- 另一个比较重要的方法是使用两个平面相交是直线的方法求出直线方程
- 给定一个点和与直线垂直的两条直线l1和l2, 解方向向量s时有两种办法, 如果s垂直于l1和l2. 一种办法是设出s的参数, 利用两个垂直关系设方程来求解, 一种办法是使用公式s=|s1 x s2|
- 给定一个点和与直线垂直的两条直线l1和l2, 可以用点与l1构造出垂直于l1的平面p1, 同理再构造出p2, 然后两平面的的方程联立就是该直线的一般式方程
李王全书: P132: 例10,11
4.4 与平面和直线的位置关系有关的问题
题型: 此类题型一般是利用平面与直线位置关系的相关结论
- 判断两直线相交: 已知两直线相交, 则他们共面, 则两直线上各取一点构成的新向量与这两条直线的混合积为0
- 求直线交点最好其中一个直线方程为参数方程形式
- 可以利用混合积来求过直线l并与直线垂直的向量s
李王全书: P134.例12,13
4.5 建立柱面方程
题型: 求柱面方程
- 准线上任取一点(x0,y0,z0),则可得到过该点的母线方程, 联立三个方程可以把x0,y0,z0用x,y,z表示出来
- 准线为参数方程, 母线也为参数方程, 那么可以很快地得出结果
李王全书: P139.例16
4.6 建立旋转面方程
题型: 求一曲线绕某一坐标轴产生的旋转面的方程
- 最简单的就是绕轴产生的题型, 有标准解法
- 主要是把x与y用z表示出来. 有z=z0, 然后把x0与y0用z0表示, 然后对应x与y用z表示
李王全书: P140.例17,18,19
4.7 建立空间曲线的投影曲线方程
题型: 如题
主要思路就是消去z, 令z=0得到只有x与y的方程, 注意x与y方程的参数范围不要超出理论范围
李王全书: P142.例21