3. 一元函数积分学
3.1 分段函数的定积分与不定积分
题型: 如题
思路: 根据定义域与值域小心划分即可
李王全书: P78.例1,2
3.2 奇偶函数,周期函数的原函数及变限积分
题型: 奇偶函数, 周期函数的导数与原函数分别是什么函数, 能不能导出的问题?
下图中同一行如果有那么就意味着左右相邻项可以通过求导或者积分得到
| F(x) | f(x) | f’(x) |
|---|---|---|
| 偶函数 | 奇函数 | 偶函数 |
| 偶函数 | 奇函数 | |
| 周期函数 | 周期函数 |
李王全书: p81.例5,6
3.3 简单有理分式的积分
题型: 简单分式的积分求解
一般采用拆分项和使用第一或者第二换元公式即可求解
李王全书: P87.例1,2,3
3.4 三角函数的有理分式的积分
题型: 关于sinx, cosx的有理分式的积分
- 化成同角
- 尽量约分
- 分母化成单项式
- 利用一些三角公式
- 万能代换
李王全书: P88.例4
3.5 简单无理式的积分
题型: 主要是包含n次根号的分式
主要使用换元公式解决, 如何换元请详见题
李王全书: P88.例5,6
3.6 两种不同类型的函数相乘的积分
题型: 如题
一般使用第一第二换元公式和分部积分来解决, 这种题型是常考形式
李王全书: P90.例8
3.7 被积函数中含有导数或变限函数的积分
题型: 如题
一种是使用二重积分的方法, 一种是使用分部积分的方法, 将dg(x)变为g’(x)dx的形式
李王全书: P91.例11
3.8 对称区间上的定积分, 周期函数的定积分
题型: 如题
使用奇偶函数, 周期函数的性质来解题即可, 注意例题中的一些小技巧
李王全书: P92.例13,15
3.9 其他一些积分计算的杂例
李王全书: P95.例17,18,19
3.10 反常积分的计算与反常积分的敛散性
题型: 计算反常积分的值和判断反常积分的敛散性
知道如何判断一个反常积分是收敛的或者发散的条件, 知道如何通过用a,b,α,β来替换掉上下限来计算, 知道什么时候需要在区间中取断点来计算反常积分的值或者是判断敛散性
李王全书: P99.例1,2,4
3.11 关于奇偶函数的反常积分
题型: 计算或者讨论对称区间上的奇偶函数的反常积分值或者判断敛散性
根据反常积分的定义计算即可, 同时注意一个比较重要的反常积分(李王全书P99)
李王全书: P101.例5
3.12 定积分的应用
题型:
- 计算平面图形的面积
- 计算平面曲线的弧长
- 计算旋转体的体积
- 计算旋转曲面的面积
- 物理计算
利用如上的公式进行操作即可, 注意套筒法, 古尔丁法, 分部积分法的应用.
物理计算比较繁杂一些, 主要是需要对特定的题型进行特定的分析, 所以这里就不做很多的分析, 主要看懂书上的几个例题就好了
李王全书: P104.例1,2,5,6,7,8,9
3.13 定积分的证明题
题型: 主要讨论变限积分所定义的函数的极限, 导数, 奇偶性, 周期性, 单调性, 或求被积函数. 以及讨论定积分或者变限积分的不等式, 或者定积分, 变限积分的零点问题
- 判断函数的奇偶性写出F(x)与F(-x)的表达式最好
- 判断单调性一般构造单边函数g(x)=0, 然后求导. 需要注意的是,如果g’(x)中一个式子带积分号, 一个不带, 那么要比较他们的大小有两种办法, 一种是全化成带积分号的式子, 一种是利用积分中值定理将有积分号的式子化为无积分号的式子
- 对于求积分定义的极限, 夹逼准则很好用, 先估算出其极限再行使用最好. 注意一种构造小区间来进行夹逼的方法
- 积分不等式的证明主要将xx>0的一边看成是变限函数, 用微分学的办法证明此不等式的单调性. 如果要证明xx>0,先证xx>=0, 再证明某一点有f(x0)>g(x0)即可. 我们还经常使用积分中值定理, 积分变量代换, 和分部积分的方法进行计算. 需要注意的是, 如果两个积分上下限不同, 可以使用代换的方式将其积分上下限化成相同.
李王全书: P114.例6,7,8,9,12
3.14 关于零点问题的证明
题型: 主要证明零点存在及有关零点的一些式子的证明
- 化成变限积分, 构造变限函数进行求解
- 积分中值定理和泰勒公式的展开
李王全书: 例15,16