研究无穷级数关心的问题：到底能不能收敛成一个数？本质是研究数列的收敛性
常数项级数
- 本质是数列，如研究{xn}的极限存在问题等于研究sum{xn-xn-1}这个级数的收敛性问题
- 满足线性运算法则：一堆收敛的经过线性运算之后仍然收敛
- 对于收敛级数，存在结合律（将级数任意加括号后形成的新级数仍收敛于原级数之和）（证明提示：单调数列收敛，其子数列收敛）
必要条件：lim un -> 0
- 第一眼看这个，如果这个都不满足，那一定不收敛。
- 就是说正向级数如果是单增的那一定就不收敛（要么极限不存在要么不为0）
重要级数
- \begin{equation*} \sum ^{\infty }_{n=1} \ \frac{1}{n^{p}} \end{equation*}
- p=1的时候是
\begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=1}\frac{1}{\ \ n} \end{gather*}，lnx的导数就是1/x，所以这个级数是类似于ln(n)的，而 \begin{gather*}\lim _{x\rightarrow \infty } \ \ \ \ln x=\infty \end{gather*} ,所以可以知道此时该级数不是一个数。
然后p<1的时候它更大所以肯定也不是一个数
p>1时收敛（待填坑）
- \begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=0} \ a_{n} \ q^{n} \end{gather*}
等比数列，q<1时收敛
正项级数判断收敛
比较审敛
- 大的收，小的一定收 证明：单调有界定理
- 小的发散，大的一定发散 证明：如果大的收敛，由上小的收敛，矛盾
比值审敛
\begin{equation*} \lim _{n\rightarrow \infty } \ \ \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \ < 1 \end{equation*}- 用等比数列证，总能有一个公比＞上面的极限，然后就相当于每次乘以那个公比，然后那个公比的级数都收敛，这个比它小的肯定也收敛
开根
\begin{equation*} \lim _{n\rightarrow \infty } \ \ \sqrt[n]{a_{n}} \ < \ 1 \end{equation*}- 还是用等比数列，乘方n了之后相当于是那个小于一的数的n次方，用一个比它极限大的公比q可证