数论之欧拉函数

请思考以下问题：

　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

　　n = p1 × p2

则

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

再根据第3条的结论，得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

模板： 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long

int euler(ll n)
{
    ll res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);//res=res*(1-1/p)->res=res*(p-1)/p;-->res=res/p*(p-1) （先除防止中间数据溢出）||或者 res-=res/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res=res/n*(n-1);//或者 res-=res/a;
    return res;
}
int main()
{
    ll n;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0)break;
        cout<<euler(n)<<endl;
    }return 0;
}

 

另一种，比上面更快的方法

需要用到如下性质

p为质数

1. phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质 

2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p       

3.若i mod p ≠0,  那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) 

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6+10 ;
int phi[N], prime[N];
int tot;//tot计数，表示prime[N]中有多少质数 
void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!phi[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[tot ++] = i;
        }
        for(int j = 0; j < tot && 1ll*i*prime[j] < N; j ++){
            if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
            else{
                phi[i * prime[j] ] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
 
int main(){
    Euler();
}