[数论] 欧拉函数

参考资料 : 欧拉函数及欧拉线性筛 - 辞树 - CSDN博客

欧拉(Eular)函数 $\varphi $

欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（$\varphi(1)=1$）

（互质：两数有且仅有公因数 $ 1 $）

$ $

欧拉函数 $\varphi$ 的性质

1. 若$n$为质数，$\varphi(n) = n-1$

2. 对于 $n = p^{k}$ ,有 $\varphi(n) = (p-1)* p^{k-1}$

3. 欧拉函数是积性函数，若$gcd(n,m)=1$，即$n$，$m$互质，有$\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)$

4. $n = \sum_{i=1} ^{m} p_{i} ^{q_{i}}$ ，则$\varphi (n) = n * \prod _{i=1} ^{m} (i - \frac{1}{p_{i}})$

5. 欧拉定理：对于互质的$a$和$m$，$a^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod$ $m)$

6.小于$n$且与$n$互质的数的和:$S = \frac {n * \varphi(n)}{2}$

7. 对于质数$p$,若$n$ $mod$ $p=0$，则$\varphi(n*p) = \varphi(n) * p$ ；若$n$ $mod$ $p\neq 0$，则 $\varphi(n*p) = \varphi(n) *(p-1)$

8. 若$\sum_{d|n}\varphi(d) = n$，则 $\varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}$

显然后面几条我们用不上....反正先写着咯

于是有了欧拉筛求素数顺便(雾)求欧拉函数值的代码

void getprime(int lim)
{
    nop[1]=1,phi[1]=0;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(!nop[i])pri[++size]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=size&&i*pri[j]<=lim;j++)
        {
            nop[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

说说几道题吧

[HAOI2012]外星人

题面:

艾莉欧在她的被子上发现了一个数字 N ，她觉得只要找出最小的 $x$ 使得$\varphi^{x}(N) =1$
。根据这个 $x $她就能找到曾经绑架她的外星人的线索了。当然，她是不会去
算，请你帮助她算出最小的 $x$。

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输入:

第一行一个正整数$ test$，接下来 $test$ 组数据每组数据第一行一个正整数$ m $，接下来
$m $行每行两个正整数 $q_{i} $ 和 $p_{i}$

其中$\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}}$为 $N$ 的标准分解形式。

输出:

$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$每行一个整数$ans$

样例解释：

$N=12 , \varphi(12)=4,\varphi(4)=2,\varphi(2)=1$，所以答案是3.

$\varphi(\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}})=\prod_{i=1}^{m}(p_{i}-1)p_{i}^{q_{i}-1}$

$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$

分析：

$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$
$\color{#ccc}\text{ }$其实题目求的是使得$\varphi( \varphi... (\varphi (N)))=1$中$\varphi$操作的个数

~~通过打表~~ 可以发现，只有$\varphi(1)$和$\varphi(2)$的值为1，所以在最后一步前必然要把$N$转化为2(因为不能转为1啊，转1就两种方式)，那么根据题目所提示之公式，

$ $

欧拉函数 \(\varphi\) 的性质

1. 若\(n\)为质数，\(\varphi(n) = n-1\)

2. 对于 \(n = p^{k}\) ,有 \(\varphi(n) = (p-1)* p^{k-1}\)

3. 欧拉函数是积性函数，若\(gcd(n,m)=1\)，即\(n\)，\(m\)互质，有\(\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)\)

4. \(n = \sum_{i=1} ^{m} p_{i} ^{q_{i}}\) ，则\(\varphi (n) = n * \prod _{i=1} ^{m} (i - \frac{1}{p_{i}})\)

5. 欧拉定理：对于互质的\(a\)和\(m\)，\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod\) \(m)\)

6.小于\(n\)且与\(n\)互质的数的和:\(S = \frac {n * \varphi(n)}{2}\)

7. 对于质数\(p\),若\(n\) \(mod\) \(p=0\)，则\(\varphi(np) = \varphi(n) p\) ；若\(n\) \(mod\) \(p\neq 0\)，则 \(\varphi(np) = \varphi(n) (p-1)\)

8. 若\(\sum_{d|n}\varphi(d) = n\)，则 \(\varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}\)

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