数论——欧拉函数

在数论中，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

——百度百科词条《欧拉函数》

        欧拉函数通式：

    为了方便编程通常不用这个通式，而用Φ(x)=p1^(n1-1)*p2^(n2-1)* ... *pk^(nk-1)*(p1-1)*(p2-1)* ... *(pk-1)计算，其中p1,p2,..pk为正整数x的质因数，n1,n2,...nk对应质因数的次数。

    该式易通过欧拉函数的性质推导出来。首先将正整数n进行质因数分解（小学数学的即视感

    欧拉函数有如下性质， 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为在1至p^k这n个数中除了p的倍数外，其他数都跟n互质。而p的倍数共有n/p即p^k/p^1=p^(k-1)个。

    另外欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

        所以有：

C++ code

int Euler(int ans1)
{
    int res=1;
    int ans=ans1;
    for(int i=2;i*i<=ans1;i++)
    {
        if(ans%i==0)
        {
        //如果找到ans的质因数i
        //这里的i一定是ans的质因数,因为一旦找到一个因数i,
        //下面的语句就会在ans的质因数分解式里约掉这个因数
        //例 ans=36  i=2时 循环语句执行完后ans=9 当i=4时就不会进入循环体
            ans/=i;
            res*=i-1;  //处理函数式中的 ...*(pk-1)项
            while(ans%i==0)  //处理函数式中的  ...*pk(nk-1)项
            {
                res*=i;
                ans/=i;
            }
        }
    }
    if(ans>1)
    {
        res*=(ans-1);
    }
     
    return res;
}