数论学习六之——欧拉定理（欧拉降幂）

我们现在就来学习数论四大定理中的最后一个定理，欧拉定理。
首先我们先介绍一下什么是欧拉函数，欧拉函数 $\varphi(n)$求的是不超过n且与n互素的正整数的个数，例如： $\varphi(4) = 2$， $\varphi(6) = 3$。
具体的欧拉公式如下：
$φ (x) = x(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})(1 - \frac{1}{p_3})...(1 - \frac{1}{p_i})$这里的 $p_i$指的是 $x$的所有质因子(特别注意：每个因子在套用欧拉公式的个数为一个)。
举个例子： $12 = 2 * 2 * 3$,那么转化为其欧拉公式则为:
$y(12) = 12*(1 - \frac{1}{2})*(1 - \frac{1}{3})$
之后我们再来介绍下欧拉定理及其推论：
欧拉定理：如果n和a是互素的正整数，则 $a^{\varphi(n)}\equiv1(\mod\ n)$
推论:如果n和a是互素的正整数，则 $a^{\varphi(n)+1}\equiv a(\mod\ n)$
准确的说欧拉定理在信息学最大的应用就是欧拉降幂
然后我们就可以开始讲欧拉降幂啦！下式就是欧拉降幂的公式：
$A^B mod C ≡ A^{Bmodφ (C) + φ (C)}mod C$（其中 $φ(C)$就是欧拉公式）
那么，我们怎么用代码实现呢
答案是：欧拉公式 $+$快速幂，下面我们给出其模板代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll ouler(ll n)			//欧拉公式
{
    ll ans = n;
    ll a = n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(a % i == 0)
        {
            ans = ans/i*(i - 1);
            while(a%i == 0)
                a /= i;
        }
    }
    if(a > i)
        ans = ans/a*(a - 1);
    return ans;
}

ll fast(ll a, ll b, ll mod)			//快速幂
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

这里只是给出了简易的的欧拉降幂模板，具体是实践可以参考2019年icpc
南京网络赛的B题，如果你能知晓欧拉降幂，那么这题做起来将会非常简单。