数论基础——欧拉函数（一）(模板)

数论基础——欧拉函数

定义

对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式

$\varphi(n)=n\times(1-1/p_1)\times(1-1/p_2)\times(1-1/p_3)\times...\times(1-1/p_n)$
即： $\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{n}{\frac{p_i-1}{p_i}}$
$p_1、p_2、p_3...p_n$是n（n>0）的质因数.
注意： $\varphi(1)=1$.

代码

ll eular(ll n)
{
    ll ans = n;
    for(int i=2; i*i <= n; i++)
    {
        if(n%i == 0)//i是质因数
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0)//确保不会出现合数因子
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);
    //因为i是从2开始，所以上面的循环无法判断n是素数的情况，因此在这加个判断
    return ans;
}

性质

1.若p为质数， $\varphi(p)=p-1$

2.若m,n互质，则 $\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times\varphi(n)$

3.若 $n=p^k(p是质数)$，则 $\varphi(n)=(p-1)\times p^{k-1}$

4.欧拉定理：对于互质的m、n，有 $n^{\varphi(m)}≡1(mod m)$

5.费马小定理：对于质数p
若n mod p = 0 ，则 $φ(n\times p)=φ(n)\times p$
若n mod p ≠ 0 ，则 $φ(n\times p)=φ(n)\times (p-1)$

6.小于n且与n互质的数的和： $S=n\times \frac{\varphi(n)}{2}$

7. $n=∑_{d|n}φ(d)$
注： (d|n)指n是d的倍数