线性代数
前置技能：
向量，向量点乘法
线性空间，线性空间的秩
矩阵，矩阵乘法，矩阵行列式
行列式的几个基本性质
矩阵求逆
初等变换
将矩阵和单位矩阵放在一起
对两个矩阵不断做线性变换
左边的矩阵消成单位矩阵时，右边的矩阵就变成了原矩阵的逆
余子式
Mi,j表示去掉i行j列的行列式
Ai,j=(-1)^{i+j} Mi,j成，称为代数余子式
代数余子式的意义就是钦定这一位必定选的行列式部分
行列式 = \sum{j=1}{n} a_{i,j}*A_{i,j}
这么求行列式是
（由于代数余子式是把这一位去掉，乘上ai,j就是带上这一位）
伴随矩阵
就是矩阵转置
伴随矩阵=逆矩阵 * 矩阵行列式
例题
T1：CF382D
每个数对(bi,ai)
矩阵中A[ai][bi] = 1
矩阵行列式每一项的贡献要么是1要么是-1
虽然值上不同于方案数，方案数每一项的贡献必定为1
那么奇偶性的影响是相同的
所以行列式的奇偶性与答案的奇偶性是一样的
去掉一个数就相当于去掉这个位置求行列式
新矩阵A’
|A’|=|A’| - |去掉这一位|
后面就相当于是这一位的代数余子式
用伴随矩阵可以对每个位置直接求
线性基
例题
T1：
异或最短路是线性基的经典问题（需要用到并查集）
加边删边用线段树分治
矩阵树定理
拉普拉斯矩阵
无向图：度数矩阵减去邻接矩阵
有向图：入度矩阵减去邻接矩阵
基尔霍夫矩阵
一个图的生成树个数等于它的朗普拉斯矩阵去掉根的一行一列之后的行列式
BEST定理
一张有向连通图的欧拉会路个数 = 内向树形图的个数 * 每个点的度数减一的阶层
即 = Tv * 连乘 (di-1)!
考虑每次访问一个点，如果当前点非树边以及走完了，就走树边，反之走非树边
例题
CF 917D
完全图生成树计数
设其它边权值为1，原数上的边为x
多项式？ak为方案？
对于一个n阶矩阵 A，若存在
特征多项式:
Pa(nmd) = | nmd I - A |
哈密尔顿凯莱定理？
解决线性递推
线性递推的显然做法:矩阵乘法
多项式求逆
多项式带余除法
Tutte
A(G)i,j = 。。。
图G有完美匹配当且
一般图最大权匹配