特征值与特征向量
特征向量
1、实质:所谓的特征向量,实质是将x输入到一个函数中,其结果与x同方向
2、性质:特征值的和等于迹的和,特征值之积等于行列式的值;对称矩阵特征值是实数;n个不同的特征值有n个不同的特征向量,但有重复特征值的情况下不一定有n个不同的特征向量
3、如何推导出特征方程:
显然,
必为奇异矩阵,否则会出现特征值与特征向量必为0,因此推导出来特征方程
4、注意:特征值不满足线性关系
应用
1、对角化:A有n个线性无关的特征向量,则
,其中S是A的特征向量组成的矩阵,对角阵由特征值组成。将上式反过来便是矩阵的分解
2、特征值为理解矩阵的幂提供了一种途径,例如求解动态增长问题
,假设A有n个线性无关的特征向量,将初始值可以写成特征向量的线性分解,之后F任意时刻的值,就只与特征值有关。