一、正交
1、零空间不会因可逆因子而改变,也就是说有:
其中,C是可逆矩阵
2、零空间与行空间正交,列空间与左零空间正交
3、如何求一个不可解的方程的最优解呢?可以利用这个方程:
,需要了解的是,转置乘以自身,是对称的,但并非总是可逆的。
4、一些重要的结论:
,
可逆的条件是A的各列线性无关。
5、如何推出投影矩阵:假设b在a上的投影为p,显然,a与p成比例,有p=x*a,由正交关系,我们可以得到如下方程:
,由此,显然可以得到:
,得:
,可以很清楚的看出投影矩阵的形式。
6、两条重要性质:投影矩阵的转置是其自身,投影两次仍是其自身,用公式表示即为,
7、将投影矩阵扩展到高维情况,求Ax=b的最优解。可以得到如下的公式:
二、格莱特-施密特正交化
格莱特的思想是将原有的向量组转化为相互正交的向量组,其实质可以看做如下问题,已知一个向量与其投影方向的向量,则误差向量就是所求的正交向量,所以要做的就是用原向量减去投影向量,即可得到结果,施密特的贡献是将得到的正交向量组单位化
三、研究正交矩阵的目的是QR分解?
线性代数(五)
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转载自blog.csdn.net/yeyustudy/article/details/80698183
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