NumPy - 线性代数

NumPy 包包含numpy.linalg模块，提供线性代数所需的所有功能。此模块中的一些重要功能如下表所述。

序号	函数及描述
1.	`dot` 两个数组的点积
2.	`vdot` 两个向量的点积
3.	`inner` 两个数组的内积
4.	`matmul` 两个数组的矩阵积
5.	`determinant` 数组的行列式
6.	`solve` 求解线性矩阵方程
7.	`inv` 寻找矩阵的乘法逆矩阵

`numpy.dot()`

此函数返回两个数组的点积。对于二维向量，其等效于矩阵乘法。对于一维数组，它是向量的内积。对于 N 维数组，它是a的最后一个轴上的和与b的倒数第二个轴的乘积。

import numpy as np 
a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
np.dot(a,b)
#结果
array([[37, 40],
       [85, 92]])

要注意点积计算为：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

`numpy.vdot()`

此函数返回两个向量的点积。如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。如果参数id是多维数组，它会被展开。

例子

a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
print np.vdot(a,b)
#结果
130

注意向量的点积的计算过程：1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

`numpy.inner()`

此函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

例子

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([0,1,0])
np.inner(a,b) 
# 等价于 1*0+2*1+3*0
#结果
2
# 多维数组示例 
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) 
np.inner(a,b)
#结果
array([[35, 41],
       [81, 95]])

上面的例子中，内积计算如下：

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

`numpy.linalg.det()`

行列式在线性代数中是非常有用的值。它从方阵的对角元素计算。对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为ad-bc。较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

numpy.linalg.det()函数计算输入矩阵的行列式。

例子

a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
np.linalg.det(a)
#结果
-2.0000000000000004
b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
np.linalg.det(b)
#结果
-306.0

计算过程

6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2) =

`numpy.linalg.solve()`

numpy.linalg.solve()函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B

或

X = A^(-1)B

列子

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
a = np.array([1,3,5])
np.linalg.solve(b,a)
#结果
array([ 0.05228758,  0.09150327,  0.59477124])

`numpy.linalg.inv()`

我们使用numpy.linalg.inv()函数来计算矩阵的逆。矩阵的逆是这样的，如果它乘以原始矩阵，则得到单位矩阵。

例子

x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
y = np.linalg.inv(x) 
#结果
array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])
np.dot(x,y)
#结果
array([[  1.00000000e+00,   1.11022302e-16],
       [  0.00000000e+00,   1.00000000e+00]])
# 现在让我们在示例中创建一个矩阵A的逆
a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]])
ainv = np.linalg.inv(a) 
#结果
array([[ 1.28571429, -0.28571429, -0.14285714],
       [-0.47619048,  0.14285714,  0.23809524],
       [ 0.19047619,  0.14285714, -0.0952381 ]])
b = np.array([[6],[-4],[27]])
# 计算：A^(-1)B
np.linalg.solve(a,b) 
#结果
array([[ 5.],
       [ 3.],
       [-2.]])
#也可用
np.dot(ainv ,b)
#结果
array([[ 5.],
       [ 3.],
       [-2.]])