线性代数（六）

行列式

一、
1、行列式的意义：通过一个数来尽可能的表达行列式的信息
2、行列式的基本性质：
1) $\det (I) = 1$
2) 交换行，行列式的值会相反
3）矩阵的数乘与相加可以进行分解
4）两行相等行列式为0
5）从某行加减另一行的k倍，行列式不变
6) 某一行为0，行列式为0
7）上三角矩阵求行列式直接用对角线上的值相乘
8）$\det A = 0$ 当且仅当A为奇异矩阵
9) $\det AB = \det A*\det B$
10）$\det {A^T} = \det A$
二、行列式公式：
1、 $\det A = \sum\limits_{n!} { \pm {a_{1\alpha }}{a_{2\beta }} \cdots } {a_{n\omega }},\;\;\;(\alpha ,\beta ,...,\omega ) = (1,2,...,n)$
2、 代数余子式
三、行列式的应用
1、矩阵的逆：
${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}{C^T}$
其中C是其伴随矩阵
2、克莱姆法则：$Ax = b$ 有 $x = {A^{ - 1}}b$
即：$x = \frac{{{C^T}b}}{{\det A}} = \frac{{\det B}}{{\det A}}$ ，其中B是A的某一列用b进行替换得到的
3、行列式的值与面积体积相关

其面积为