本文介绍线性代数
目录
行列式
矩阵及其运算
矩阵的初等变换
矩阵的秩
线性方程组的解
向量组的线性相关性
相似矩阵及二次型
-
二阶行列式
\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}\quad\)，其中\(a_{ij}\)称为行列式的元素，\(i\)为行标，\(j\)为列标三阶行列式
\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\quad\)全排列及其逆序数
全排列
将\(n\)个不同的元素排成一列，叫做这\(n\)个元素的全排列，排列的种数\(p_n=n\bullet(n-1)\bullet...\bullet 3\bullet 2\bullet 1=n!\)逆序数
规定一个标准排序顺序（比如升序），一个元素前面有几个比它大的数就说它有几个逆序，
一个排列中所有元素的逆序数之和叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数的叫奇排列，偶数的叫偶排列
如：排列\(32514\)的排序数为\(t=0+1+0+3+1=5\)，为奇排列
\(n\)阶行列式的定义
三阶行列式
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\quad=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\)，其中\(p_1,p_2,p_3\)为\(123\)的全排列，\(t\)为每种排列的逆序数\(n\)阶行列式，简记\(det(a_{ij})\)
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} \]特殊的\(n\)阶行列式
\[ D=\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ & & \cdots & \\ & & & \lambda_n \\ \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & &\\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \]
\[ D=\begin{vmatrix} & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 &\\ & \cdots & & \\ \lambda_n & & & \\ \end{vmatrix}=(-1)\dfrac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]
除了主对角线外未标出的元素都是零，称为对角行列式
主对角线以下（上）的元素都是\(0\)的行列式称为上（下）三角行列式，结果和对角行列式一样，即
对换
- 定理1：一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性改变
- 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数（标准排列就是偶排列）
- 定理2：\(n\)阶行列式还可以定义为\(D=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}\)，其中\(t\)为行标排列\(P_1,P_2,\cdots,P_n\)的逆序数
行列式的性质
转置行列式
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, \]
\(D_T\)称为行列式\(D\)的转置行列式- 性质1：行列式和它的转置行列式相等
行列式中行和列的地位相同，对行成立的性质对列同样成立 - 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 - 性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数\(k\)，等于用数\(k\)乘此行列式
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 - 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
- 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则\(D\)等于两个包含各数的行列式之和
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数后的值加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k}\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{k1} & \cdots & a_{kk}\\ \end{vmatrix}\times\begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} \]
任何\(n\)阶行列式总能运用此性质化为三角行列式
几个特殊的实例
\[ D_{2n}=\begin{vmatrix} a & & & & b \\ & \cdots & & \cdots & \\ & & a b & & \\ & & c d & & \\ & \cdots & & \cdots & \\ c & & & & d \\ \end{vmatrix}=(ad-bc)^n \]
行列式按行（列）展开
基本概念
余子式：\(n\)阶行列式中，\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后，剩下的\(n-1\)阶行列式称为\(a_{ij}\)元的余子式，记做\(M_{ij}\)
代数余子式：\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)引理
一个\(n\)阶行列式，如果其中第\(i\)行所有的元素除\(a_{ij}\)外都为零，那么这行列式等于\(a_{ij}\)与它的代数余子式的乘积，即\(D=a_{ij}A_{ij}\)定理3（行列式按行或列展开法则）
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，
即\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} (i=1,2,\cdots,n)\)或
\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} (j=1,2,\cdots,n)\)
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，
即\(a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn} (i \neq j)\)或
\(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj} (i \neq j)\)
克拉默法则
法则内容
\(n\)个未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的\(n\)个线性方程的方程组
\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases} \]
如果线性方程组的系数行列式不等于零，即\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}\neq 0 \]
如果右端的常数项\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)不全为零，方程组称为非齐次线性方程组，否则称为齐次线性方程组
那么线性方程组有唯一解\(x_1=\dfrac{D_1}{D},x_2=\dfrac{D_2}{D},\cdots,x_n=\dfrac{D_n}{D}\)
其中\(D_j\)是把方程组的右端的常数项替换行列式第\(j\)列后的行列式
齐次线性方程组\(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\)一定是它的解，称为齐次线性方程组的零解，不一定有非零解- 定理4：如果上述的线性方程组的系数行列式\(D \neq 0\)则，方程组一定有唯一解
- 定理4'：如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零
- 定理5：如果齐次线性方程组的系数行列式\(D \neq 0\)，则齐次线性方程组没有非零解
- 定理5'：如果齐次线性方程组有非零解，则他的系数行列式必为零
-
矩阵
定义1
由\(m\times n\)个数\(a_{ij}\)排成\(m\)行\(n\)列的数表称为\(m\)行\(n\)列矩阵，简称\(m\times n\)矩阵，记作
\[ A=(a_{ij})=(a_{ij})_{m\times n}=A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]
行数和列数都为\(n\)的矩阵称为\(n\)阶矩阵或\(n\)阶方阵，记作\(A_n\)
只有一行的矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，称为行矩阵或行向量，同样的，也有列矩阵
两个矩阵行和列数相等，称为同型矩阵，同型矩阵对应元素相同则两矩阵相同
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作\(O\)单位阵
\[ E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \]对角阵，简记\(\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)
\[ \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} \]
矩阵的运算
矩阵的加法
两个矩阵是同型矩阵才可以进行加法运算
\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)相加，为对应元素相加
（1）\(A+B=B+A\)
（2）\((A+B)+C=A+(B+C)\)
（3）\(-A=(-a_{ij})\)
（4）\(A+(-A)=O\)
（5）\(A-B=A+(-B)\)数与矩阵相乘
数\(\lambda A=A\lambda\)为\(\lambda\)与\(A\)中的每一个元素相乘
（1）\((\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\)
（2）\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)
（3）\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)矩阵与矩阵相乘
第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时才能相乘
设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times s\)矩阵，\(B=(b_{ij})\)是一个\(s\times n\)矩阵，那么\(A\)和\(B\)的乘积是一个\(m\times n\)矩阵\(C=(c_{ij})\)
其中，\(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)，行和列对应的元素相乘，记作\(C=AB\)矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序，\(AB\)是\(A\)左乘\(B\)的乘积，\(BA\)是\(A\)右乘\(B\)的乘积
若\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，则\(AB\)和\(BA\)都有意义矩阵相乘满足如下定律
单位阵满足\(EA=AE=A\)
（1）\((AB)C=A(BC)\)
（2）\(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
（3）\(A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA\)
对角阵可以表示为\(\Lambda=\lambda E_n\)
矩阵的幂只有方阵才有，\(A^k\)矩阵的转置
把矩阵\(A\)的行和列交换，叫做\(A\)的转置矩阵，记作\(A^T\)
（1）\((A^T)^T=A\)
（2）\((A+B)^T=A^T+B^T\)
（3）\((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
（4）\((AB)^T=B^TA^T\)
如果\(A^T=A\)，称\(A\)为对称矩阵方阵的行列式
由\(n\)阶方阵\(A\)的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵\(A\)的行列式，记作\(|A|\)或\(detA\)
（1）\(|A^T|=|A|\)
（2）\(|\lambda A|=\lambda^n|A|\)
（3）\(|AB|=|A||B|\)伴随阵
行列式\(|A|\)的各个元素的代数余子式\(A_{ij}\)所构成的矩阵如下
\[ A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix} \]
称为矩阵\(A\)的伴随矩阵
有\(AA^*=A^*A=|A|E\)
逆矩阵
对于\(n\)阶矩阵\(A\)，如果有一个\(n\)阶矩阵\(B\)，使\(AB=BA=E\)，则说\(A\)是可逆的，\(B\)称为\(A\)的逆矩阵简记\(A^{-1}\)
方阵逆阵的运算
如果\(A\)是可逆的，那么\(A\)的逆阵是唯一的
若矩阵\(A\)可逆，那么\(|A| \neq 0\)
若\(|A| \neq 0\)，则矩阵\(A\)可逆，且\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\)，\(A^*\)为\(A\)的伴随阵
\(A\)是可逆矩阵的充分必要条件是\(|A| \neq 0\)
若\(AB=E\)（或\(BA=E\)），则\(B=A^{-1}\)
（1）若\(A\)可逆，则\(A^{-1}\)亦可逆，且\((A^{-1})^{-1}=A\)
（2）若\(A\)可逆，数\(\lambda \neq 0\)，则\(\lambda A\)可逆，且\((\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}\)
（3）若\(A,B\)为同阶矩阵且均可逆，则\(AB\)亦可逆，且\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
（4）若\(A\)可逆，则\(A^T\)亦可逆，且\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)矩阵的分块法
分块法就是\(A\)矩阵分成多个小的矩阵，而\(A\)就由这些小的矩阵块组成，分块后的\(A\)的运算法则和之前是一样的
\(A=O\)的充分必要条件是\(A^TA=O\)
有如下几个特殊的运算规则需要注意：- 分块矩阵转置
- 分块对角矩阵
- 矩阵的初等变换
概念
增广矩阵：方程组的系数和常数项组成的矩阵
行阶梯形矩阵：所有非零行在全零行的上面，并且每行的非零首元素比上行的非零首元素更靠右
行最简形矩阵：行阶梯形矩阵每行的非零首元素为1，并且所在列的其他元素为0
解线性方程组只需要把增广矩阵化为行最简形矩阵定义1，下面三种变换称为矩阵的初等行变换，初等列变换同理
- 对调两行（对调\(i,j\)两行，记做\(r_i \leftrightarrow r_j\)）
- 以数\(k \neq 0\)乘某一行中的所有元素（第\(i\)行乘\(k\)，记做\(r_i\times k\)）
- 把某一行所有元素的\(k\)倍加到另一行对应的元素上去（记做\(r_i+kr_j\)）
矩阵等价
- 如果矩阵\(A\)经过有限次初等行变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)行等价，记做\(A\overset{r}{\sim}B\)
- 如果矩阵\(A\)经过有限次初等列变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)列等价，记做\(A\overset{c}{\sim}B\)
- 如果矩阵\(A\)经过有限次初等变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)等价，记做\(A\sim B\)
- 矩阵等价的性质
（1）反身性 \(A \sim A\)
（2）对称性 若\(A \sim B\)，则\(B \sim A\)
（3）传递性 若\(A \sim B, B \sim C\)，则\(A \sim C\) - 对于\(m\times n\)矩阵\(A\)，总可以经过初等变换，把它化为标准形
- 定理1，设\(A\)与\(B\)为\(m\times n\)矩阵，那么：
（1）\(A\overset{r}{\sim}B\)的充分必要条件是存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)，使\(PA=B\)
（2）\(A\overset{c}{\sim}B\)的充分必要条件是存在\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使\(AQ=B\)
（3）\(A\sim B\)的充分必要条件是存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)及\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使\(PAQ=B\)
推论：方阵\(A\)可逆的充分必要条件是\(A\overset{r}{\sim}E\)
初等矩阵
- 定义2：由单位阵\(E\)经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
- 性质1：设\(A\)是一个\(m\times n\)矩阵，
对\(A\)施行一次初等行变换，相当于在\(A\)的左边乘以相应的\(m\)阶初等矩阵
对\(A\)施行一次初等列变换，相当于在\(A\)的右边乘以相应的\(n\)阶初等矩阵 - 性质2：方阵\(A\)可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵\(P_1,P_2,\cdots,P_i\)，使\(A=P_1P_2\cdots P_i\)
-
- 定义3：取矩阵\(A_{m\times n}\)的\(k\)行和\(k\)列，位于交界处的\(k^2\)个元素构成\(k\)阶行列式称为\(k\)阶子式
- 定义4：矩阵\(A\)的不为零的\(r\)阶子式\(D\)，所有的\(r+1\)阶子式都为零，\(D\)称为最高阶非零子式，\(r\)称为\(A\)的秩，记作\(R(A)\)
定理2：若\(A \sim B\)，则\(R(A) = R(B)\)
- 推论：若可逆矩阵\(P,Q\)使\(PAQ=B\)，则\(R(A)=R(B)\)
- 作用：求矩阵的秩，将矩阵进行初等变换成行阶梯形矩阵，非零行的行数就是矩阵的秩
矩阵秩的性质
- \(0 \leq R(A_{m\times n}) \leq min|m,n|\)
- \(R(A^T)=R(A)\)
- 若\(A \sim B\)，则\(R(A) = R(B)\)
- 若\(P,Q\)可逆，则\(R(PAQ)=R(A)\)
- \(max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)\)
当\(B=b\)为非零列向量时，有\(R(A) \leq R(A,b) \leq R(A) + 1\) - \(R(A+B)\leq R(A) + R(B)\)
- \(R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\}\)
- 若\(A_{m\times n}B_{n\times l}=O\)，则\(R(A)+R(B) \leq n\)
- 若\(AB=O\)，若\(A\)为列满秩矩阵，则\(B=O\)
-
定理3
n元线性方程组\(Ax=b\)，系数矩阵\(A\)和增广矩阵\(B=(A,b)\)
（1）无解的充分必要条件是\(R(A) \lt R(A,b)\)
（2）有唯一解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)=n\)
（3）有无限多解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)\lt n\)- 定理4：\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是\(R(A)\lt n\)
- 定理5：线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)\)
- 定理6：矩阵方程\(AX=B\)有解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,B)\)
- 定理7：设\(AB=C\)，则\(R(C) \leq min\{R(A),R(B)\}\)
-
定义1：
\(n\)个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为\(n\)维向量，每个数称为分量
若干个同维数的列向量（或行向量）组成的集合叫向量组
\(n\)维列向量记做\(a\)，则\(n\)维行向量记做\(a^T\)定义2：
给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)，对于任何一组实数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)
给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)和向量\(b\)，如果存在一组数\(\lambda_1,\lambda_1,\cdots,\lambda_1\)，使
表达式\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m\)称为\(A\)的一个线性组合
\(b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ma_m\)，则向量\(b\)是向量组的线性组合，称向量\(b\)能由向量组\(A\)线性表示定理1：
向量\(b\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是
矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩定义3：
向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)及\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)，若\(B\)中的每个向量都能由\(A\)线性表示
则称\(B\)能由\(A\)线性表示，如果\(A\)和\(B\)能相互线性表示，称两者等价定理2：
向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是
推论：向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)与向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)等价的充分必要条件是
矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\((A,B)=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_l)\)的秩
即\(R(A)=R(A,B)\)
\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)，其中\(A,B\)是由向量组\(A,B\)构成的矩阵定理3：
设向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示，则
\(R(b_1,b_2,\cdots,b_l) \leq R(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)定义4：
给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使
\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0\)，则称向量组\(A\)是线性相关的，否则线性无关定理4：
向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)
的秩小于\(m\)，线性无关的充分必要条件是\(R(A)=m\)定理5：
- 若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性相关，则向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关
若\(B\)线性无关则\(A\)线性无关 - \(m\)个\(n\)维向量组成的向量组，当\(n \lt m\)时，一定线性相关
- 设向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性无关，而向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,b\)线性相关
则向量\(b\)必能由\(A\)线性表示，并且表达式唯一
- 若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性相关，则向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关
向量组的秩
定义
设有向量组\(A\)，如果在\(A\)中能选出\(r\)个向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，满足
（1）向量组\(A_0: a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关
（2）向量组\(A\)中任意\(r+1\)个向量都线性相关
则称\(A_0\)是\(A\)的一个最大线性无关向量组，\(r\)称为向量组\(A\)的秩，记做\(R_A\)定理
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
设向量组\(A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量组\(A\)的一个部分组，且满足
（1）向量组\(A_0\)线性无关
（2）向量组\(A\)的任一向量都能由向量组\(A_0\)线性表示
那么向量组\(A_0\)就是向量组\(A\)的一个最大无关组向量组\(b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是
若向量组\(B\)能由向量组\(A\)线性表示，则\(R_B \leq R_A\)
\(R(a_1,a_2,\cdots,a_m)=R(a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_l)\)
线性方程组解的结构
- 性质1：若\(x=\xi_1,x=\xi_2\)为向量方程\(Ax=0\)的解，则\(x=\xi_1+\xi_2\)也是它的解
- 性质2：若\(x=\xi_1\)为向量方程\(Ax=0\)的解，\(k\)为实数，则\(x=k\xi_1\)也是它的解
- 齐次方程基础解系：表示\(Ax=0\)解集的最大无关组，\(S_0:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\)
- 定理1：设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩\(R(A)=r\)，则\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)的解集\(S\)的秩\(R_s=n-r\)
- 齐次方程通解：最大无关组\(S_0\)的线性组合\(x=k_1\xi_1,k_2\xi_2,\cdots,k_t\xi_t\)，一般表示成\(x=c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_{n-r}\xi_{n-r}\)
- 性质3：设\(x=\eta_1\)及\(x=\eta_2\)为向量方程\(Ax=b\)的解，则\(x=\eta_1-\eta_2\)为\(Ax=0\)的解
- 性质4：设\(x=\eta\)为向量方程\(Ax=b\)的解，\(x=\xi\)是\(Ax=0\)的解，则\(x=\xi+\eta\)为\(Ax=b\)的解
- 齐次方程通解：\(x=k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta^*\)
-
向量的内积
定义1
设有n维向量
\[ x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} \]
\([x,y]=x^Ty=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\)称为向量\(x,y\)的内积性质1
（1）\([x,y]=[y,x]\)
（2）\([\lambda x,y]=\lambda[x,y]\)
（3）\([x+y,z]=[x,z]+[y,z]\)
（4）当\(x=0\)时，\([x,x]=0\)，当\(x\neq 0\)，\([x,x] \gt 0\)
（5）\([x,y]^2 \leq [x,x][y,y]\)定义2
令\(||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\)，\(||x||\)称为\(n\)维向量的长度（或范数）
当\(||x||=1\)时，称\(x\)为单位向量性质2
（1）非负性：当\(x \neq 0\)，\(||x|| \gt 0\)，当\(x = 0\)，\(||x|| = 0\)
（2）齐次性：\(||\lambda x||=|\lambda|\;||x||\)
（3）三角不等式：\(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||\)正交
当\([x,y] = 0\)时，称向量\(x,y\)正交，若\(x=0\)则与任何向量都正交
正交向量组：一组两两正交的非零向量
若\(n\)维向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)是一组两两正交的非零向量，则\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关
如果\(n\)阶矩阵\(A\)满足\(A^TA=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)）那么称\(A\)为正交矩阵，简称正交阵
若\(P\)为正交阵，则线性变换\(y=Px\)称为正交变换正交矩阵的性质
（1）若\(A\)为正交阵，则\(A^{-1}=A^T\)也是正交阵，且\(|A|=1\)（或\(-1\)）
（2）若\(A\)和\(B\)都是正交阵，则\(AB\)也是正交阵
方阵的特征值与特征向量
定义
设\(A\)是\(n\)阶矩阵，如果数\(\lambda\)和\(n\)维非零列向量\(x\)使关系式\(Ax=\lambda x\)成立（\((A-\lambda E)x=0\)）
称数\(\lambda\)为矩阵\(A\)的特征值，非零向量\(x\)称为\(A\)对应于特征值\(\lambda\)的特征向量要求特征值\(\lambda\)，则系数行列式\(|A-\lambda E|=0\)，即
\[ x=\begin{pmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \\ \end{pmatrix}=0 \]性质
设\(n\)阶矩阵\(A=(a_{ij})\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)则有
（1）\(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)
（2）\(\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n=|A|\)定理
设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是方阵\(A\)的\(m\)个特征值，\(p_1,p_2,\cdots,p_m\)依次是与之对应的特征向量
如果\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)各不相等，则\(p_1,p_2,\cdots,p_m\)线性无关
相似矩阵
定义
设\(A,B\)都是\(n\)阶矩阵，若有可逆矩阵\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)则称\(B\)是\(A\)的相似矩阵
对\(A\)进行\(P^{-1}AP\)运算称为相似变换，\(P\)称为把\(A\)变成\(B\)的相似变换矩阵定理
若\(n\)阶矩阵\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)的特征多项式相同，从而\(A\)与\(B\)的特征值相同
推论：若\(n\)阶矩阵\(A\)与对角阵
\[ A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_2 \end{pmatrix} \]
相似，则\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)即是\(A\)的\(n\)个特征值
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