线性代数知识

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线性代数，行列式交换任意两行行列式变号一次，那么这两行一定要相邻吗？如果是矩阵呢？矩阵用变号吗，为什么？

行列式行行之间、列列之间交换不必相邻。矩阵行列互换不用变号，互换后相当于左乘或右乘一个初等矩阵，不再是原先的矩阵，但是和原先的矩阵相似，拥有相同的特征值。

 

追问

乘上得这个初等矩阵是？

 

 

还有一个，矩阵某行直接除以二，结果的矩阵还是等于原来的矩阵？

 

追答

如果交换行，那么左乘一个初等矩阵：这个初等矩阵是对角阵I（有些书上记作E，就是除主对角线全是1之外全是零的矩阵）的相应行互换。
比如交换一二行：
1    2    3            4    5    6
4    5    6    →    1    2    3
7    8    9            7    8    9
相当于左乘交换了一二行之后的对角阵I
4    5    6         0    1    0               1    2    3        
1    2    3    =   1    0    0       ·       4    5    6
7    8    9         0    0    1                7    8    9

交换列则右乘这个初等矩阵，同样是对角阵I交换对应列之后的结果。

乘以二之后不再是原来的矩阵。