【线性同余方程】

1.定义

给定整数 $a,c,m$ ，求一个整数 $x$ 满足 $a*x \equiv c\ (mod\ m)$ ，或者给出无解。因为未知数的指数为 $1$ ，所以我们称之为一次同余方程，也称线性同余方程。

2.过程分析

$a*x \equiv c\ (mod \ m)$ 等价于 $a*x-c$ 是 $m$ 的倍数，不妨设为 $-y$ 倍。于是，该方程可以改写为 $a*x+m*y=c$ 。

我们先用扩展欧几里德算法求出 $ax+my=gcd(a,m)$ 的一组解 $x_0、y_0$

对于方程 $a*x+m*y=c$ ，它存在解的充要条件是 $c\%gcd(a,m)==0$ ，且它的一组解 $(x,y)$ 等于 $(\frac{cx_0}{gcd(a,m)},\frac{cy_0}{gcd(a,m)})$ 。

事实上，若方程 $ax+my=c$ 有整数解，则共有 $gcd(a, m)$ 个解，其全部解的公式为：
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{cx_0}{gcd(a,m)}+\frac{m}{gcd(a,m)}*K \\ y=\frac{cy_0}{gcd(a,m)}- \frac{a}{gcd(a,m)}*K \end{matrix}\right. \ (K为任意整数)$

3.结论

设 $a, c,m$ 是整数，其中 $m \geq 1$ ，则

（1）若 $c\%gcd(a,m) \neq 0$ ，则方程 $ax \equiv c\ (mod \ m)$ 无解

（2）若 $c\%gcd(a,m) = 0$ ，则方程 $ax \equiv c\ (mod \ m)$ 恰好有 $gcd(a,m)$ 个模 $m$ 意义下不同的解，且解的形式为
$x'=x+\frac{m}{gcd(a,m)}*K$
其中 $K=0,1,..., gcd(a,m)-1$ ， $x$ 是 $ax+my=c$ 的一个解。

4.实现

综上分析，可以使用扩展欧几里德算法求线性同余方程的一组解。

实际上，常常被要求去求最小的正整数的解，先通过扩展欧几里德算法求出方程的一组 $x_0、y_0$ ，再设 $t=b/GCD(a,b)$ 来拓展方程的解，调整 $x$ 的范围，将 $a*x_0+b*y_0=c$ 拓展为 $a*(x_0+t*k)+b*(y_0-t*k)=c,k \in Z$ ，从而使得所得到的 $x$ 尽可能的小，通过式子 $x=(x\:\, mod\:\, t+t)\:\,mod\:\,t$ 来约束结果一定是一个正数，最后所得到的 $x$ 即是一个最小的正整数解。

#include<iostream>
using namespace std;
int Extended_GCD(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
 
    int temp;
    int gcd = Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y -= x*(a/b);
    return gcd;
}

int main()
{
    //形如 ax+by=c
    int a, b, c, x, y;
    cin>>a>>b>>c;
 
    int gcd = Extended_GCD(a, b, x, y);
    if(c%gcd!=0)
        cout<<"无整数解"<<endl;
    else
        cout<<"该方程的一组整数解为：x="<<x*c/gcd<<",y="<<y*c/gcd<<endl;
 
	return 0;
}

【中国剩余定理】

1.定义

线性同余方程组是由若干个线性同余方程构成的线性方程组，其解法最早由我国《孙子算经》给出，因此解法称为“孙子定理”，又叫“中国剩余定理”，实质即为求多个数的最小公倍数。

2.内容

$\left\{\begin{matrix}x\equiv a_1(mod\:m_1) \\ x\equiv a_2(mod\:m_2) \\ ... \\x\equiv a_n(mod\:m_n) \end{matrix}\right.$

设自然数 $m_1,m_2,...,m_n$ 两两互质，并记 $m=m_1*m_2*...*m_n$ ，记 $M_i=\frac{m}{m_i}$ ，记 $t_i$ 表示 $M_i$ 模 $m_i$ 的逆（即 $t_i$ 是线性同余方程 $M_it_i \equiv 1\ (mod\ m_i)$ 的一个解）

那么，对于任意的 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$ ，方程组有整数解，解为
$x = a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+...+a_nM_nt_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_iM_it_i$

3.实现

#include<iostream>
using namespace std;

int Extended_GCD(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b==0)
	{
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
 
    int gcd = Extended_GCD(b, a%b, y, x);
    y = y - a/b*x;
    return gcd;
}

int China(int W[], int B[], int k)		//W除数，B余数
{
    int mod = 1;
    for(int i = 0; i < k; i++)			//计算mod的大小
        mod *= W[i];
 
    int res = 0;
    int x, y, m;
    for(int i = 0; i < k; i++)
	{
        m = mod / W[i];
        Extended_GCD(W[i], m, x, y);		//求出每一组W[i]与m的解
        res = (res + y * B[i] * mod / W[i] + mod) % mod;	//累加所有解
    }
    return (res + mod) % mod;
}