GDUT 2020寒假训练 数论 F
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题目
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
样例
input
1 2 3 4 5
output
4
思路
先按照题意,设 秒后能相遇,那么列出同余方程 合并同类项后有 那么就得到了形如 的同余方程。最后,我们的目的是解出
扩展欧几里得
回顾一下,扩展欧几里得可以解
的方程,那么我们把
展开写:
那么在等式两边同时除以b再乘上gcd,化成拓展欧几里得可以解的形式
替换一下变量
能得到
那么我们用
能解出
和
最后再逆代换
可以解出原方程的一组特解。那么实际上通解为
k取任意整数。
那么在这道题中,
是
,
是
,
是
解一下
,k是无关答案的变量,t是该不定方程的特解,然后再反代换
,最后再将t控制在正整数的范围内
就可以啦
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
long long temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
return d;
}
int main()
{
long long x,y,m,n,l;
cin>>x>>y>>m>>n>>l;
long long ans,k,d;
d=exgcd(n-m,l,ans,k);
if((y-x)%d!=0)
{
cout<<"Impossible"<<endl;
return 0;
}
ans=((ans*(x-y)/d)%(l/d)+(l/d))%(l/d);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}