计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（5 二次曲线、不动点、直线）

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一、 二次曲线

1.1 极点-极线的关系

点 $\bm{x}$和二次曲线 $C$定义一条直线 $\bm{I}=C\bm{x}$,则有：

• $\bm{I称为x关于C}$的极线；
• $\bm{x称为I关于C}$的极点；

• 性质：

• 点 $\bm{x}$关于二次曲线 $C$的极线 $\bm{I}=C\bm{x}与C$交于两点， $C$的过这两点的切线相交于 $\bm{x}$
• 如果点 $\bm{x}$在 $C$上，则它的极线就是二次曲线过点 $x$的切线。
  

二次曲线诱发了 $IP^2$内点与直线之间的一种映射，且这种映射具有射影结构，因为它仅仅涉及相交和相切两种在射影变换下不变的性质。

• 对射：
  对射是指 $IP^2$点到 $IP^2$线的可逆映射，并用 $3\times3$非奇异矩阵表示为 $\bm{I}=A\bm{x}$.
  对射提供了一种点与直线关系对偶化关系的一种系统方法，对射不要求一定要用对称矩阵表示，但因为讨论二次曲线，因此此处仅限于讨论对称矩阵。
  • 共轭点： 如果点y在极线 $\bm{I}=C\bm{x}$上，则 $\bm{y^TI}=\bm{y^T}C\bm{x}=0$。满足 $\bm{y^T}C\bm{x}=0$的任何两点 $\bm{x,y}$称为关于二次曲线 $C$共轭。
  • 如果 $\bm{x}$在 $\bm{y}$的极线上，那么 $\bm{y}$也在 $\bm{x}$的极线上.

1.2 二次曲线的分类

二次曲线的射影标准形式： 因为C是对称矩阵，所以有实特征值并可分解为乘积 $C=U^TDU$,其中 $U$是正交矩阵， $D$是对角矩阵。

以射影变换 $U$作用与二次曲线 $C$,有：
$C'=U^{-T}CU^{-1}=U^{-T}(U^TDU)U^{-1}=D$
这表明任何二次曲线都射影等价于一个对角矩阵表示的二次曲线。

二次曲线 $D$变为具有矩阵 $diag(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$的二次曲线中，其中 $\epsilon_i=\pm1$或 $0$.

二、不动点和直线

• 不动点
  对于方阵 $H$，可以求特征向量和特征值。而当方阵 $H$对应着一种射影变换时，则变换矩阵 $H$的特征矢量（即特征向量） $\bm{e}$对应着射影变换的不动点，特征值 $\lambda$和对应的特征矢量 $\bm{e}$有:
  $H\bm{e}=\lambda\bm{e}$
  而在齐次坐标下 $\bm{e}$和 $\lambda\bm{e}$表示同一点。当 $H$为平面射影变换矩阵，则 $H$的大小为 $3\times3$，最多有三个互不相同的特征值，即平面射影变换最多有三个不动点。
• 不动直线
  类似推导可应用于不动直线，它对应于 $H^T$的特征矢量。注意不动直线的不动是集合的不动，而不是点点不动，即该直线上的点被映射到直线的另一点，这两点一般不同。
• 欧氏矩阵
    两个不动理想点是虚圆点 $\bm{I,J}$组成的复共轭对，相对应的特征值是： $\{e^{i\theta},e^{-i\theta}\}$,这里 $\theta$是旋转角。对应予特征值1 的第三个特征矢量，称为极点。欧氏变换等价与绕该点转 $\theta$角的纯旋转并且没有平移。
• 相似矩阵
    两个不动理想点仍是虚圆点，特征值是 $\{1,e^{i\theta},e^{-i\theta}\}$。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取 $s$为因子的均匀缩放。注意虚圆点的特征值仍然表征旋转角。
• 仿射矩阵
    两个不动理想点可以是实或复共轭的，但在任何一种情况下，过这些点的不动直线 $\bm{I_\infty}=(0,0,1)^T$是实的。