把之前做的还有没做的重新做一遍吧，复习、整理一下。
用Markdown写略gouzhi啊。。不过写博客上也许方便？
保持每晚一两道吧。
第一类换元法
\[\begin{aligned}F[g(x)]&=\int F'[g(x)]g'(x)dx\\&=\int F'[g(x)]d[g(x)]\\&=F[g(x)]\end{aligned}\]
反正就是凑。
例1.\[\int\frac{cos^2x-sin\ x}{cos\ x(1+cos\ x\ e^{sin\ x})}\]
应该是把\(cos\ x\ e^{sin\ x}\)弄出来，而\((cos\ x\ e^{sin\ x})'=e^{sin\ x}(cos^2x-sin\ x)\)，所以答案就出来了。
\[\begin{aligned} \int\frac{cos^2x-sin\ x}{cos\ x(1+cos\ x\ e^{sin\ x})}&=\int\frac{e^{sin\ x}(cos^2x-sin\ x)}{e^{sin\ x}cos\ x(1+cos\ x\ e^{sin\ x})}dx\\&=\int\frac{d(cos\ x\ e^{sin\ x})}{cos\ x\ e^{sin\ x}(1+cos\ x\ e^{sin\ x})}\end{aligned}\]
令\(t=cos\ x\ e^{sin\ x}\)
\[\begin{aligned} 原式&=\int\frac{dt}{t(t+1)}\\&=\int\frac{dt}{t}-\int\frac{d(t+1)}{t+1}\\&=ln|t|-ln|t+1|+C\\&=ln|cos\ x\ e^{sin\ x}|-ln|cos\ x\ e^{sin\ x}+1|+C \end{aligned}\]
1.\[\int\frac{dx}{e^x-e^{-x}}\]
\[\begin{aligned} \int\frac{dx}{e^x-e^{-x}}&=\int\frac{e^xdx}{(e^x)^2-1}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{de^x}{e^x-1}-\frac{1}{2}\int\frac{de^x}{e^x+1}\\&=\frac{1}{2}ln|e^x-1|-\frac{1}{2}ln|e^x+1|+C \end{aligned}\]