1.初等函数的不定积分不一定是初等函数
2.有理函数的不定积分一定是初等函数,可以被积出来
3.部分无理函数通过变量代换可以转化为有理函数
至此，我们可以利用线性性质、换元积分和分部积分方法求解不定积分，但并非所有的不定积分都能被求解。比如下面的不定积分就无法求解：
自然而然的，我们想要研究什么形式的不定积分是可以求解的。我们知道，不定积分和求导是互为逆运算，因为基本初等函数导数都是可求的，而初等函数是基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到，因此初等函数也是可以求导的：
我们要找到，F(x)是什么样的初等函数，它的不定积分可以求出来。
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有理函数的不定积分可以求解，主要有下面的定理：
首先我们对有理函数R(x)的分母部分q(x)进行分析，由代数基本定理：
最后的关系可以根据根的乘积展开得到：
接下来我们希望对R(x)进行根式化简，首先对于实根，我们有：
红色框需要说明一下为什么λ不等于0，因为若λ为0，则P(α)为0，则α为P(x)的一个实根，必然可以与分母q(x)约分，与题意假设矛盾。这样不断做下去，能把所有实根穷尽分解。接下来是虚根：
综上，我们可以把有理函数进行部分分式：
我们利用公式以及递推式，理论上必然可以求解上面的不定积分：
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下面举个例子加以说明。
例1（待定系数法）
例2
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有一些无理函数可以通过变量代换为有理函数：
举个几个例子。
例3
例4
例5
