对 ∫ ln x x 3 d x \int \frac{\ln x}{x^3} dx ∫x3lnxdx 进行积分：
设 u = ln x u = \ln x u=lnx， d v = 1 x 3 d x dv = \frac{1}{x^3} dx dv=x31dx，则 d u = 1 x d x du = \frac{1}{x} dx du=x1dx， v = − 1 2 x 2 v = -\frac{1}{2x^2} v=−2x21。则有：
∫ ln x x 3 d x = − ln x 2 x 2 + ∫ 1 2 x 3 d x \int \frac{\ln x}{x^3} dx = -\frac{\ln x}{2x^2} + \int \frac{1}{2x^3} dx ∫x3lnxdx=−2x2lnx+∫2x31dx
对于第二个积分，我们可以再次使用分部积分法，设 u = 1 2 x 2 u = \frac{1}{2x^2} u=2x21， d v = 1 x 3 d x dv = \frac{1}{x^3}dx dv=x31dx，则 d u = − 1 x 3 d x du = -\frac{1}{x^3}dx du=−x31dx， v = − 1 2 x 2 v = -\frac{1}{2x^2} v=−2x21。则有：
∫ 1 2 x 3 d x = − 1 4 x 2 \int \frac{1}{2x^3} dx = -\frac{1}{4x^2} ∫2x31dx=−4x21
将上述结果带回原式，得到：
∫ ln x x 3 d x = − ln x 2 x 2 − 1 4 x 2 + C \int \frac{\ln x}{x^3} dx = -\frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C ∫x3lnxdx=−2x2lnx−4x21+C
其中 C C C 为任意常数。原积分的结果为 − ln x 2 x 2 − 1 4 x 2 + C -\frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C −2x2lnx−4x21+C。