数学分析笔记6：不定积分

不定积分的定义与方法

不定积分的定义

所谓“不定积分”，就是微分的逆运算。
定义6.1 $f(x)$是定义在区间 $I$上的函数，如果存在区间 $I$上的函数 $G(x)$，对任意的 $x\in I$，都有 $G^\prime(x) = f(x)$，则称 $G(x)$是 $f(x)$在区间 $I$上的原函数或不定积分，记为 $\int{f(x)dx} = G(x)$

紧接着就是两个问题：第一，不定积分是否存在，第二，存在是否唯一？
关于第一个问题，我们先给出如下定理，但其证明要在下节完成。
定理6.1（原函数存在定理） 闭区间上连续函数都有原函数
第二个问题的答案当然是否定的。但是，同一个函数的不同原函数之间是有联系的。
引理6.1 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上连续，开区间 $(a,b)$上可导，则 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$恒为常数的充分必要条件是 $f(x)$在开区间 $(a,b)$上导数恒为0

证：
必要性，如果 $f(x)$在 $[a,b]$上恒为常数，那么对任意的 $x_0\in(a,b)$，对任意的 $x\in(a,b)$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = 0$因此导数恒为0
充分性，如果 $f(x)$在 $[a,b]$上导数恒为0，对任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，由拉格朗日中值定理 $f(x_1)-f(x_2)=f^\prime(\xi)(x_1-x_2)$其中， $\xi$介于 $x_1$和 $x_2$之间，而 $f^\prime(\xi)=0$，因此 $f(x_1)=f(x_2)$

定理6.2 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上的两个原函数仅相差一个常数
也就是说，我们只需要求出其中一个原函数，通过加减常数就可以得到其他的原函数。

换元积分法

通过变量替换的方法，我们可以简化不定积分的计算。
定理6.2（换元积分法1） 如果 $\int{f(x)dx} = F(x) + C$ $x=\phi(t)$可微，则 $\int{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} = F(\phi(t))+C$

也就是说，如果我们能看出被积函数是一个复合函数以及被复合函数的导数的乘积，那么，就可以通过还原，只需要求 $f(x)$的不定积分，就可以求出 $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$的不定积分。由复合函数的求导法则，直接求导验证就可以证得该定理。

定理6.3（换元积分法2） 如果 $x=\phi(t)$是单调可导的函数，并且导数不为0，如果 $\int{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} = F(t)+C$那么 $\int{f(x)dx}=F(\phi^{-1}(x))+C$
这也是直接求导验证即可。

分部积分法

分部积分法则是来源于乘法的求导法则。
定理6.4（分部积分法） $f(x)$在 $I$上可导， $f(x)$和 $g(x)$在区间 $I$上的原函数分别为 $F(x)$和 $G(x)$， $f^\prime(x)G(x)$的原函数存在，则 $\int{f(x)g(x)dx} =f(x)G(x)-\int{f^\prime(x)G(x)dx}$

对乘积形式的分部积分，如果 $\int{f^\prime(x)G(x)dx}$求解的难度比 $\int{f(x)g(x)dx}$低，那么就可以通过分部积分的方法来简化运算。

常见的不定积分

本节以例子的形式给出一些常见的不定积分的方法，可以作为字典性质的一节。当遇到一些难解的不定积分的时候，不妨可以回来查阅这一节。
例6.1 换元积分法2的应用1：求解不定积分
$I = \int{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$

解：
分两步进行，第一步，进行变量替换：首先令 $-\frac{\pi}{2}\le t \le \frac{\pi}{2}$，这样， $\sin{t}$在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上单调。
由第二换元法，令 $x=a\sin{t}$ $I = \int{\sqrt{a^2-(a\sin{t})^2}(a\cos{t})dt} =a^2\int{\cos^2{t}dt}\\ =a^2[\frac{t}{2}+\frac{\sin{(2t)}}{4}]+C$第二步，令 $t=a\arcsin{x}$，进行回代： $I=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} +\frac{a^2}{2}\sin{\arcsin{\frac{x}{a}}}\sqrt{1-\sin^2(\arcsin{\frac{x}{a}})}+C\\ \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

例6.2 求不定积分： $I=\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$

解：
利用恒等式 $\tan^2{x}+1=\sec^2{x}$令 $-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$，做变量替换 $x=a\tan{t}$，就有 $I=\int{\frac{a\sec^2{t}}{\sqrt{a^2\tan^2{t}+a^2}}} =\int{\sec{t}dt} = \frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin{t}}{1-\sin{t}}|+C$再进行回代： $I=\frac{1}{2}\ln|\frac{\frac{1}{\cos{t}}+\tan{t}}{\frac{1}{\cos{t}}-\tan{t}}|+C \\=\frac{1}{2}\ln|\frac{\sqrt{1+\tan^2{t}}+\tan{t}}{\sqrt{1+\tan^2{t}}-\tan{t}}|+C\\ =\frac{1}{2}\ln(\sqrt{1+\tan^2{t}}+\tan{t})^2+C\\ =\frac{1}{2}\ln(\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a})^2+C$

例6.3 求不定积分： $I=\int{\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}}$

解：
令 $t>0$， $x=t^6$，则 $I=\int{\frac{6t^5dt}{t^3+t^2}} =\int{\frac{6t^3dt}{t+1}}$其次， $6t^3=(6t^3-6t+6)(t+1)-1\\ 6t^2-6t+6 = (6t-12)(t+1)+18\\ 6t-12=6(t+1)-18$逐步回代 $6t^3 = 6(t+1)^3-18(t+1)^2+18(t+1)-6$代入，就可以求得 $I=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+C$

下面我们来讨论有理分式的积分：
例6.4 设 $p^2<q$，求不定积分 $I=\int{\frac{dx}{x^2+2px+q}}$

解： $I=\int{\frac{dx}{(x+p)^2+q-p^2}}=\frac{1}{q-p^2}\int{\frac{dx}{1+\frac{(x+p)^2}{q-p^2}}}\\ =\frac{1}{q-p^2}\int{\frac{dx}{1+(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})^2}}= \frac{1}{\sqrt{q-p^2}}\int{\frac{d(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})}{1+(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})^2}}\\ =\frac{1}{\sqrt{q-p^2}}\arctan{\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}}}+C$

例6.5 $I_n = \int{\frac{dx}{(1+x^2)^n}}$求 $I_n$的一个递推式

解：
由分部积分法，有 $I_n = \frac{x}{(1+x^2)^n} +2n\int{\frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}} \\=\frac{x}{(1+x^2)^n} +2n[I_n-I_{n+1}]$
因此，有 $I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^{n}}+(1-\frac{1}{2n})I_n$我们已经知道 $I_1=\arctan{x}+C$，那么就可以递归地求出所有的 $I_n$，如 $I_2 = \frac{x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\arctan{x}+C$

例6.6
利用例6.5中的积分 $I_n$表示积分 $J_n = \int{\frac{dx}{(x^2+2px+q)^n}}$其中， $p^2<q$

解： $J_n = \int{\frac{dx}{[(x+p)^2+q-p^2]^n}}=\frac{1}{(q-p^2)^n}\int{\frac{dx}{[(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})^2+1]^n}}\\=\frac{1}{(q-p^2)^{n-\frac{1}{2}}}\int{\frac{d(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})}{[\sqrt{q-p^2}})^2+1]^n}\\=\frac{1}{(q-p^2)^{n-\frac{1}{2}}}I_n(\frac{x+p}{\sqrt{q-p^2}})$

由代数基本定理，任意 $n$次多项式都有 $n$个复根，进一步地，如果系数全是实数，则复根互为共轭。
这样，我们就可以把实多项式分解成如下形式： $P(x)=x^n+\sum_{k=1}^n{a_kx^{n-k}} =\prod_{i=1}^{m}(x^2+2p_ix+q_i)^{m_i}\prod_{j=1}^{k}(x-c_i)^{k_j}$其中， $c_1,\cdots,c_k$是两两不同的实数， $\{(p_i,q_i),i=1,\cdots,m\}$是两两不同的实数对，并且满足 $p_i^2<q_i(i=1,\cdots,k)$
$Q(x)$是次数小于 $n$的多项式，令 $\frac{Q(x)}{P(x)} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k_i}\frac{A_{ij}}{(x-c_i)^j}+ \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m_i}\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+2p_ix+q_i)^j}$再通分，用待定系数法，可以分解成一系列可求积分的分式，这样全体有理分式的积分我们都有办法求解。
例6.7 求解不定积分 $\int{\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx}$

解： $\int{\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx}= \int{\frac{x-3}{(x-1)^2(x+1)}dx}$令 $\frac{x-3}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$待定系数，得到方程组 $\begin{cases} A+C=0\\ B-2C=0\\ -A+B+C=-3 \end{cases}$方程组的解为 $C=-1,A=1,B=-1$
不定积分的解为 $\int{\frac{x-3}{(x-1)(x^2-1)}dx}= \int{\frac{x-3}{(x-1)^2(x+1)}dx}=\\ \ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\ln|x+1|+C =\ln|\frac{x-1}{x+1}|+\frac{1}{x-1}+C$

对有理三角分式，即分子分母都是 $\sin{x},\cos{x}$的二元多项式。可由万能公式： $\sin{x} = \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}$ $\cos{x} = \frac{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}$化成分子分母都是 $\tan{\frac{x}{2}}$的多项式，设为 $\frac{R(\tan{\frac{x}{2}})}{Q(\tan{\frac{x}{2}})}$
再做换元 $t=\tan{\frac{x}{2}}$，就可以化成有理分式的不定积分进行计算。但是万能公式有时可能使问题复杂化，在某些特定情况有比万能公式更快速的求解方法。