leetCode 123.买卖股票的最佳时机 III 动态规划 + 状态压缩

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

>>思路和分析

这道题目相对leetCode 121.买卖股票的最佳时机和 leetCode 122.买卖股票的最佳时机 II难了不少。关键在于至多买卖几次，意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

>>动规五部曲

1.确定dp数组以及下标的含义

一天一共有 5 个状态，dp[i][j] 中 i 表示第 i 天，j 为[0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第 i 天状态 j所剩最大现金

0.没有操作（其实也可以不设置这个状态）
1.第一次持有股票
2.第一次不持有股票
3.第二次持有股票
4.第二次不持有股票

"持有" : 不代表就是当天"买入"！可能昨天就买入了，今天保持有的状态

2.确定递推公式

3.dp数组初始化

dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            // dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][4];
    }
};

其实可以不设置，‘0. 没有操作’ 这个状态，因为没有操作，手上的现金自然就是0，正如在 leetCode 121.买卖股票的最佳时机和 leetCode 122.买卖股票的最佳时机 II也没有设置这一状态是一样的。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n × 4)

>>状态压缩

摘取自代码随想录代码随想录 (programmercarl.com)：

dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]); 如果dp[1]取dp[1]，即保持买入股票的状态，那么 dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中dp[1] + prices[i] 就是今天卖出。
如果dp[1]取dp[0] - prices[i]，今天买入股票，那么dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中的dp[1] + prices[i]相当于是今天再卖出股票，一买一卖收益为0，对所得现金没有影响。相当于今天买入股票又卖出股票，等于没有操作，保持昨天卖出股票的状态了。

// 状态压缩
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) { 
        if(prices.size() == 0) return 0;   
        int len = prices.size();
        vector<int> dp(5,0);
        dp[1] = -prices[0];
        dp[3] = -prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++) {
            dp[1] = max(dp[1],dp[0] - prices[i]);
            dp[2] = max(dp[2],dp[1] + prices[i]);
            dp[3] = max(dp[3],dp[2] - prices[i]);
            dp[4] = max(dp[4],dp[3] + prices[i]);
        }
        return dp[4];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

参考和推荐文章、视频

代码随想录 (programmercarl.com)

动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III_哔哩哔哩_bilibili

来自代码随想录课堂截图：

leetCode 123.买卖股票的最佳时机 III 动态规划 + 状态压缩

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