LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机 III（动态规划）

1. 题目

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，
在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，
这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，
     在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，
     这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
     
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，
在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 
这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
     
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
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2. 解题

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• dp[i][k][0]表示第 i 天，经过最多 k 次交易，0不持有股票的最大收益
• dp[i][k][1]表示第 i 天，经过最多 k 次交易，1持有股票的最大收益
• 最后应该返回的是dp[n-1][k][0]，最后持有股票收益是负的，所以不是1
• k 定义是买入的时候增加 1次
• i = 0 时，不持有股票，dp[i][k][0]=0，持有股票，dp[i][k][1]=-prices[0]
• i > 0 时：
  dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
  不持有股票，--------- 前一天没持有 or 前一天持有，然后卖出
  dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
  持有股票，--------- 前一天持有 or 前一天不持有，然后买入（交易k+1）

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
    	if(prices.empty())
    		return 0;
    	int i, j, k, n = prices.size(), maxt = 2;
    	vector<vector<vector<int>>> dp(n,vector<vector<int>>(maxt+1,vector<int>(2,0)));
    	for(i = 0; i < n; ++i)
    	{
    		for(k = 1; k <= maxt; ++k)
    		{
    			if(i==0)
    			{
                    dp[i][k][0]=0;
                    dp[i][k][1]=-prices[0];
                    continue;
                }
    			dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i]);
    			dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i]);
    		}
    	}
    	return dp[n-1][maxt][0];
    }
};

• 该模板可以解股票第1题，maxt = 1
• 该模板可以解股票第2题，maxt = n（最后一个例子超时，n^2 复杂度）
• 该模板可以解股票第4题，(第2题+第3题的组合)

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