题目
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出: 6 解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 =
3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。示例 2:
输入: [1,2,3,4,5] 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 =
5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。示例 3:
输入: [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
解题思路
动态规划
状态定义
通过题目可以发现，涉及到的变量有天数、交易次数、买入卖出状态，所以可以定义一个三维数组dp[i][j][k]，表示第i天交易j次时的累计最大利润，k表示此次操作是买入还是卖出。如dp[1][1][0]表示第一天交易了1次时卖出后的累计最大利润，所以第i天共有五种状态分别为dp[i][0][0]、dp[i][0][1]、dp[i][1][0]、dp[i][1][1]、dp[i][2][0]。dp[i][0][0]：对应于初始状态，第i天0次交易卖出，既然都没交易，那何来卖出呢，所以只能是0。dp[i][0][1]和dp[i][1][0] 这两个是一对，对应到上图中就是第一次买入、第一次卖出。dp[i][1][1]和dp[i][2][0] 这两个也是一对，对应到上图中就是第二次买入、第二次卖出。
接着思考，发现每一天都只有五个状态，那么可以接着对状态定义进行简化，直接用下面的方式表示
-
dp[i][0] 初始化状态
-
dp[i][1] 第一次买入
-
dp[i][2] 第一次卖出
-
dp[i][3] 第二次买入
-
dp[i][4] 第二次卖出
结合下面的状态转移方程，可以发现，第i天的利润只与第i-1天有关，，也就是说，求出第i天的利润，第i-1天及以前的利润就不需要了，那么就可以用一维数组进行滚动更新，只需要第i-1天和第i天的数据，即前一天和当前的利润。 -
dp0：初始化状态
-
dp1：第一次买入
-
dp2：第一次卖出
-
dp3：第二次买入
-
dp4：第二次卖出
状态转移方程
三维数组的状态转移方程：
第一次买入：从初始状态转换而来，或者第一次买入后保持不动 dp[i][0][1] =
max(dp[i-1][0][1],dp[i-1][0][0]-prices[i])第一次卖出：从第一次买入转换而来，或者第一次卖出后保持不动 dp[i][1][0] =
max(dp[i-1][1][0],dp[i-1][0][1]+prices[i])
第二次买入：从第一次卖出转换而来，或者第二次买入后保持不动 dp[i][1][1] =
max(dp[i-1][1][1],dp[i-1][1][0]-prices[i])第二次卖出：从第二次买入转换而来，或者第二次卖出后保持不动 dp[i][2][0] =
max(dp[i-1][2][0],dp[i-1][1][1]+prices[i])
二维数组的状态转移方程：
第一次买入：从初始状态转换而来，或者第一次买入后保持不动 dp[i][1] =
max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
第一次卖出：从第一次买入转换而来，或者第一次卖出后保持不动 dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i])第二次买入：从第一次卖出转换而来，或者第二次买入后保持不动 dp[i][3] =
max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i])第二次卖出：从第二次买入转换而来，或者第二次卖出后保持不动 dp[i][4] =
max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i])
一维数组的状态转移方程：
第一次买入：从初始状态转换而来，或者第一次买入后保持不动 dp1 = max(dp1,dp0-prices[i])
第一次卖出：从第一次买入转换而来，或者第一次卖出后保持不动 dp2 = max(dp2,dp1+prices[i])第二次买入：从第一次卖出转换而来，或者第二次买入后保持不动 dp3= max(dp3,dp2-prices[i])
第二次卖出：从第二次买入转换而来，或者第二次卖出后保持不动 dp4 = max(dp4,dp3+prices[i])
代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if not prices:
return 0
dp0 = 0
dp1 = -prices[0]
dp2 = 0
dp3 = -prices[0]
dp4 = 0
for i in range(1,len(prices)):
dp1 = max(dp1,dp0-prices[i])
dp2 = max(dp2,dp1+prices[i])
dp3 = max(dp3,dp2-prices[i])
dp4 = max(dp4,dp3+prices[i])
return max(dp0,dp1,dp2,dp3,dp4)