leetCode 122.买卖股票的最佳时机 II 动态规划 + 状态转移 + 状态压缩

122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

本题和leetCode 121.买卖股票的最佳时机 动态规划 + 状态转移这道题的区别主要在于可以买卖多次了

>>思考和分析

>>动规五部曲

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][0] 表示第 i 天持有股票所得最多现金
• dp[i][1] 表示第 i 天不持有股票所得最多现金

2.确定递推公式

① 若第 i 天持有股票即 dp[i][0],那么可以由两个状态推出来

• 第 i - 1 天就持有股票，那么就保持现状，昨天持有股票的所得现金就是现在所得，即：   
  • dp[i - 1][0]
• 第 i 天买入股票，买入今天的股票后所得现金就是现在所得,即：
  • 本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第 i 天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。那么第 i 天持有股票即 dp[i][0] ，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：
    • dp[i - 1][1] - prices[i]

dp[i][0]应该选所得现金最大的，dp[i][0] = max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] - prices[i]);

② 若第 i 天不持有股票即 dp[i][1],依然也可以由两个状态推出来

• 第 i - 1天就不持有股票，那么就保持现状，昨天不持有股票的所得现金就是现在所得，
  • dp[i-1][1]
• 第 i 天卖出股票，按照今天股票价格卖出后所得现金就是现在所得，即：                         
  • dp[i - 1][0] + prices[i]

dp[i][1]应该选所得现金最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][0] + prices[i]);

3.dp数组初始化

由递推公式

• dp[i][0] = max(dp[i - 1][0],dp[i-1][1]-prices[i]); 
• dp[i][1] = max(dp[i - 1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);

其基础都是要从 dp[0][0] 和 dp[0][1] 推导出来

• dp[0][0] -= prices[0];
• dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出 dp[i] 都是由 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是 从前向后 遍历

5.举例推导dp数组

 

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

 >>优化空间复杂度

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

 >>总结

本题和leetCode 121.买卖股票的最佳时机的代码几乎一样，唯一的区别在：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

这正是因为本题的股票可以买卖多次！

因此买入股票的时，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，那么

• dp[i][0] = dp[i - 1][1] - prices[i]

参考和推荐文章、视频

代码随想录 (programmercarl.com)

 动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II_哔哩哔哩_bilibili

来自代码随想录的课堂截图：