机器人运动学
本篇帖子总结了机器人运动学中一小半的内容，【第1部分】机器人运动学_哔哩哔哩_bilibili ，感兴趣的小伙伴可以去看原片。
1：齐次坐标
传统的物体的位置我们使用直角坐标系来描述，但是在刻画物体与物体的位置关系时，直角坐标系略有局限性，所以我们引入了齐次坐标系。
（1）点的直角坐标描述
一个点用P (Px, Py, Pz)表示，代表了这个点到每一个平面的距离
直角坐标系又叫笛卡尔坐标系，式中，Px，Py，Pz是点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量。
（2）点的齐次坐标描述
齐次坐标就是在直角坐标的基础上，末尾加上一个w，变成四维的向量
一个点齐次坐标的表示并不是唯一的，将其各元素同乘一非零因子w后，任然代表同一点P，即为：
a = wPx ; b = wPy ; c = wPz;
（3）坐标轴方向的齐次坐标描述
我们遵循着“ 点加1，向量加0 ”的准则，X轴的向量就是 X = [1 0 0 0 ]T，Y轴的向量就是 Y = [0 1 0 0 ]T，Z轴的向量就是 Z = [0 0 1 0 ]T。
4 * 1 列阵 [ a b c w ]T 中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；
4 * 1 列阵 [ a b c w ]T 中第四个元素为零，且满足 a^2 + b^2 + c^2 = 1，则表示某轴（矢量）的方向。
（3）动坐标系位姿（位置和姿态）的齐次坐标描述
空间一个物体如果不受任何约束，就会有六个自由度，也就是三个平动，三个转动。三个平动是X方向，Y方向，Z方向上的平动。三个转动包括俯仰，偏摆和滚转。三个平动就是空间上XYZ三个方向的平移，只会改变位置，不会改变姿态。但是三个转动是会改变其姿态的。
（4）连杆的位置和姿态的描述
描述连杆的位置和姿态我们需要先确定一个点。再确定这个连杆的方向，也就是姿态。确定了方向和这个点的位置，那么这个连杆在空间中的描述就确定下来了。
首先确定一个点，我们选择O’点为P，P = [x0 y0 z0 1]
再确实这个连杆的方向，也就是姿态。我们这里面现在又两个坐标系，一个是基于原点O的坐标系，还有一个就是基于物体的坐标系，基于原点O的坐标系和物体的坐标系其X轴，Y轴，Z轴往往不是平行的。
我们可以发现最后一行永远都是[0 0 0 1]，所以我们可以用RP01来描述这个物体的坐标系，也就是4*4的向量描述物体坐标系。
（5）立方体的位置和姿态的描述
可以用物体点的坐标构成齐次矩阵
2：齐次坐标变换
（1）平移的齐次坐标变化
对于点的平移变换，不改变其姿态，所以前三列是不变的。
但是会改变其位置，设原点的位置齐次坐标为[x y z 1]，变换后的齐次坐标为[x’ y’ z’ 1]，设平移了[△x △y △z]，则[x y z 1]和[x’ y’ z’ 1]存在以下的关系。Trans就是平移的意思
平移变换矩阵可以作用于一个点，向量，也可以作用于一个物体的坐标系。当作用于一个物体坐标系时，有时候这个矩阵是左乘的，有的时候是右乘的。
相对于固定坐标系（参考坐标系）平移时，算子左乘。因为在参考坐标系中无论物体怎么动，坐标系都是固定的；
相对于动坐标系（物体自身坐标系）平移时，算子右乘；
也适用于坐标轴，矢量，坐标系，刚体的平移变换。
对于物体来说也是一样的，比如物体Q相对于坐标系做（2,6,0）平移后到Q’
（2）旋转的齐次坐标变换
这是绕着x轴的旋转变换矩阵，因为是旋转，所以最后一列就等于0，c ==> cos ， s ==> sin。
以此类推，我们可以知道绕着y旋转和绕着z轴旋转的算子。
该式为一般旋转齐次变换的通式，概括了绕X，Y，Z轴进行旋转变换的情况；
相对于固定坐标系（参考坐标系）平移时，算子左乘；
相对于动坐标系（物体自身坐标系）平移时，算子右乘；
也适用于坐标轴，矢量，坐标系，刚体的平移变换。
例子：
（3）平移加旋转的齐次变化
用平移算子（或旋转算子）去乘上旋转算子（或平移算子）；
并不限定平移变换或者旋转变换的次数或者先后顺序；
运算规则依然是，相对于固定坐标系变换则算子左乘，相对于动坐标系的变换则算子右乘；
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（3）平移加旋转的齐次变化
用平移算子（或旋转算子）去乘上旋转算子（或平移算子）；
并不限定平移变换或者旋转变换的次数或者先后顺序；
运算规则依然是，相对于固定坐标系变换则算子左乘，相对于动坐标系的变换则算子右乘；
同样是适用于坐标系，矢量，坐标轴，刚体的平移旋转变换。