分数阶麻雀搜索算法-附代码

分数阶麻雀搜索算法

摘要：采用分数阶微积分算法优化麻雀搜索算法,根据麻雀的位置信息,引入自适应分数阶阶次以自适应地调整分数阶阶次,加快算法收敛速度;

1.麻雀优化算法

基础麻雀算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108830958

2. 改进麻雀算法

2.1 分数阶微积分

分数阶微积分与整数阶微积分对应, 是将微积分阶次从 整数推广到分数, 通过对整数微积分的差分近似递推求解极 限 ${}^{[6-8]}$, 即阶次为分 数的微分和积分。最为常用的定义是 Grumwald-Letniko(G-L 定义)。
G-L 定义的离散表达式为 ${}^{[9]}$ :
$$D^v[x(t)]=\frac{1}{T^v}\sum _{k=0}^{\beta }\frac{(-1{)}^k\gamma (v+1)x(t-kT)}{\gamma (k+1)\gamma (v-k+1)}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中, $v$ 为阶次; $T$ 为周期; $\gamma (N)={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{n-1}\mathrm{d}t=(n-1)!$ 为伽 马函数; $\beta$ 为截止阶次。

2.2 分数阶优化的麻雀搜索算法

为了防止麻雀搜索算法陷入局部最优, 同时加快该算法 的收敛速度, 本文利用分数阶的学习训练算法易跳出局部极 值点的特点, 将麻雀搜索算法与分数阶微分相结合, 通过麻雀 群中麻雀位置的更新来自适应地调整分数阶次。
令式 (4) 中的 $\beta =4$, 可得:
$$\begin{array}{rl}{D}^v[x(t+1)]\approx & x(t+1)-vx(t)+\frac{1}{2}v(v-1)x(t-1)-\\ & \frac{1}{6}v(v-1)(v-2)x(t-2)+\\ & \frac{1}{24}v(v-1)(v-2)(v-3)x(t-3)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
由式 (5) 可知, 分数阶导数结果与当前项和之前的状态值 均有关, 且过去事件的影响随着时间的推移而减小。将分数 阶引入到麻雀搜索算法中发现者的位置更新处。由式 (1) 可 知, 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中其他 麻雀发出警报时, 发现者的位置更新可描述为：
$$X_{i,j}^{t+1}-X_{i,j}^t=Q\cdot \mathbf{L}\text{\hspace{1em}(6)}$$
式 (6) 的左边为分数阶 $\mathrm{G}-\mathrm{L}$ 定义阶次 $v$ 为 1 且周期 $T$ 为 1 时的离散形式, 即:
$$D^v[x(t+1)]=\mathbf{Q}\cdot \mathbf{L}\text{\hspace{1em}(7)}$$
由式 (5) 可知, 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中其他麻雀发出警报时, 发现者的位置更新可表 示为:
$$\begin{array}{rl}{X}_{i,j}^{t+1}=& v{X}_{i,j}^t-\frac{1}{2}v(v-1)X_{i,j}^{t-1}-\frac{1}{6}v(v-1)(v-2)X_{i,j}^{t-2}+\\ & \frac{1}{24}v(v-1)(v-2)(v-3)X_{i,j}^{t-3}+Q\cdot L\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
可以看出, 分数阶次影响着发现者的位置更新。因此, 本 文采用自适应调整机制, 引入进化因子 $f$ 对分数阶阶次 $v$ 进 行修正。

(1) 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中 其他麻雀发出警报时, 发现者 $i$ 到其他麻雀的平均距离为:
$$d_{ix}=\frac{1}{N-1}\sum _{j=1,j=i}^N\sqrt{\sum _{k=1}^D{\left(x_{jk}-x_{jk}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中, $N$ 和 $D$ 分别表示加入者的个数和维数。
(2) 在进化过程中, 进化因子 $f$ 决定加入者当前的状态, 其定义为：
$$f=\frac{d_g-d_{\min }}{d_{\max }-d_{\min }}\in [0,1]\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中, $d_g$ 为全局最优位置到其他麻雀的平均距离; $d_{\max }$ 和 $d_{\text{min }}$ 分别为所有 $d_{ix}$ 中的最大值和最小值。
(3) 当分数阶阶次 $v\in [0.5,0.8]$ 时, 收敛速度更快 ${}^{[10]}$ 。 因此, $v(f)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-0.47f}\in [0.5,0.8]$ 。

3.实验结果

4.参考文献

[1]江妍,马瑜,梁远哲,王原,李光昊,马鼎.基于分数阶麻雀搜索优化OTSU肺组织分割算法[J].计算机科学,2021,48(S1):28-32.

5.Matlab代码

6.Python代码