分数阶粒子群算法-附代码

分数阶粒子群算法

摘要：通过引入粒子进化因子，利用粒子的状态信息自适应更改分数阶次 α ，通过速度增量为零来更新粒子速度、位置值；结合传统粒子群粒子更新公式，采用粒子对称分布的改进粒子群算法。

1.粒子群优化算法

基础粒子群算法的具体原理参考网络资料

2. 改进粒子群算法

2.1 分数阶粒子群算法

为防止传统粒子群算法陷入局部最优、早熟收敛等问题的发生，同时为了加快算法的收敛速度，由于基于分数阶的学习训练算法很容易跳出局部极值点，且能克服基于一阶梯度的传统学习训练算法易陷入局部极值的缺点，本文将粒子群算法与分数阶微分相结合，通过粒子群粒子的速度、位置的重新组合来自适应调整速度导数的阶次 α 。并通过 对 粒 子 当 前 的 速 度 求 α 阶 导 数 来 更 新 其 速 度、位置值。

根据分数阶微分的 $\mathrm{G}-\mathrm{L}$ 定义, 当信号持续 3 个单位即 $n=3$ 时, 根据分数阶微分的差值表达式 (9), 令当前时刻 导数为 0 , 即速度增量为零时求当前时刻速度, 如下式

$\frac{d^{a}v(t)}{d(t{)}^{\alpha }}\approx v(t)+(-\alpha )v(t-1)+\frac{(-\alpha )(-\alpha +1)}{2}v(t-2)+$ $\frac{(-\alpha )(-\alpha +1)(-\alpha +2)}{6}v(t-3)=0(12)$
可得
$$v(t)=(\alpha )v(t-1)+\frac{(\alpha )(-\alpha +1)}{2}v(t-2)+\frac{(\alpha )(-\alpha +1)(-\alpha +2)}{6}v(t-3)\text{\hspace{1em}(13)}$$

设式 (10) 中 $\omega =1$, 则粒子速度按下列公式更新
$$\begin{array}{c}v(t+1)=\alpha v(t-1)+\frac{1}{2}\alpha (1-\alpha )v(t-2)+\frac{1}{6}\alpha (1-\alpha )(2-\alpha )v(t-3)+c_1{r}_{1d}(p_{id}(t)-\\ x_{id}(t))+c_2{r}_{2d}\left(p_{gd}(t)-x_{id}(t)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
其中, $\alpha$ 为分数阶次。粒子位置按照式 (11) 进行不断调整 更新, 直到找到最佳位置。

由于本文分数阶粒子群算法的分数阶次 $\alpha$ 采用的是自 适应参数调整机制, 通过引入进化因子 $f$, 利用粒子的位 置、速度状态来自适应改变分数阶次 $\alpha$ 。对于粒子群算法中 的每个粒子i, 粒子到其它粒子的平均距离公式如下
$$d_{ix}=\frac{1}{N-1}\sum _{j=1,j=i}^N\sqrt{\sum _{k=1}^D{\left(x_{ik}-x_{jk}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(15)}$$
其中, $N$ 和 $D$ 分别为粒子群个数和空间维数。
在进化过程中, 进化因子 (evolutionary factor) $f$ 决定 系统当前的进化状态, 其定义为
$$f=\frac{d_g-d_{\min }}{d_{\max }-d_{\min }}\in [0,1]\text{\hspace{1em}(16)}$$
其中, $d_g$ 为全局最优位置到其它粒子的平均距离, $d_{\max }$ 和 $d_{\min }$ 为所有 $d_{ix}$ 中的最大值和最小值。
根据进化因子 $f$, 鉴于分数阶次 $\alpha$ 在 $[0.5,0.8]$ 范围 内算法能够获得吏快的收敛速度 ${}^{[13]}$, 故提出 $\alpha$ 的动态调整 等式如下, 此时的 $\alpha$ 变化与迭代次数无关
$$\alpha (f)=1/2e^{-0.47f}\in [0.5,0.8]\text{\hspace{1em}(17)}$$

3.实验结果

4.参考文献

[1]魏晶茹,马瑜,夏瑞,蒋海波,周亭亭.基于分数阶粒子群的Otsu图像分割算法[J].计算机工程与设计,2017,38(12):3284-3290.DOI:10.16208/j.issn1000-7024.2017.12.017.

5.Matlab代码

6.Python代码