麻雀搜索算法SSA（Sparrow Search algorithm）

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前言

麻雀搜索算法是2020提出的一种新的优化算法，出自东华大学xue和shen的论文：A novel swarm intelligence optimization approach: sparrow search algorithm，本文的内容是基于该论文来写的。

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数学模型

麻雀搜索算法是受麻雀觅食和反捕食行为启发而提出的。在麻雀集群中，我们将会划分出不同的角色。对于麻雀的行为，我们做出如下假设：
1、能量储备高的麻雀有足够的能力去寻找食物，他们被称为生产者，负责找到可以提供丰富食物来源的区域，他们为乞讨者提供觅食区域或方向。能量储备低的麻雀被称为乞讨者。能量储备的水平取决于对个体适应度值的评估。
2、一旦麻雀发现捕食者，个体就会发出警报，当警报值大于安全阈值时，生产者需要将乞讨者引导至安全区域。
3、每只麻雀只要寻找到更好的食物来源，都可以成为生产者，但生产者和乞讨者在整个种群中的比例保持不变。
4、能量较高的麻雀作为生产者，几个饥饿的乞讨者更有可能飞到其他地方觅食以获得更多的能量。
5、乞讨者会跟随提供最好食物的生产者来寻找食物，同时，一些乞讨者会不断监视生产者并且竞争食物以提高自己的捕食率
6、当意识到危险时，在群体边缘的麻雀将会迅速移动到安全的地方以获得更好的位置，而在群体中间的麻雀将会随机移动以靠近其他麻雀

我们用下面的矩阵来表示麻雀的位置：

其中，n表示麻雀的数量，d表示要优化的变量的维度，那么，所有麻雀的适应度值可用如下向量表示：

F_X每一行的值代表个体的适应度值。在SSA中，适应度值较好的生产者在搜索过程中优先获得食物。由于生产者负责寻找食物并指导整个族群的移动，因此，比起乞讨者，生产者能够在更大的范围内寻找食物。
我们用下面的式子来更新生产者的位置信息：

式中，t代表的是当前的迭代次数，j的范围是{1，2，…，d}，X^t_i,j表示第t次迭代时，第i只麻雀的第j个维度的值。iter_max是最大的迭代次数，即我们设置要让它迭代多少次才结束的值。α∈(0.1]是一个随机数，R₂(R₂∈[0,1])和ST(ST∈[0.5,1.0])分别表示警报值和安全阈值。Q是一个满足正态分布的随机数，L是一个1×d的矩阵，并且里面的元素全为1。当R₂<ST时，表明周围没有天敌，生产者进入广域搜索模式，当R₂>ST时，表明附近存在危险，所有麻雀需要迅速飞到其他安全区域。
我们接着用另外的式子来更新乞讨者的位置信息。

上式中，X_p是生产者占据的最优位置，X_worst表示当前全局的最差位置， A表示一个1×d的矩阵，每个元素随机分配1或者-1。并且A⁺=A^T(AA^T)^-1，当i>n/2时，表明适应度值较差的第i个乞讨者最有可能挨饿。
在实验中，我们可以假设意识到危险的麻雀占总种群的10%到20%。麻雀的初始位置是随机生成的，根据假设6，数学模型可以用以下式子表示：

其中，X_best是当前全局最优位置，β是步长控制参数，是随机数的正态分布，均值为0，方差为1，K∈[−1, 1]是随机数，这里f_i是当前麻雀的适应度值，f_g和f_w分别是当前全局最佳和最差适应度值，ε是最小的常数，以避免分母为0。当f_i>f_g，表明麻雀在群体的边缘，X_best代表人口中心的位置，并且在其周围就是安全的，f_i=f_g表明处于种群中间的麻雀意识到了危险，需要靠近其他麻雀，K表示麻雀移动的方向，也是步长控制系数。
以上是关于麻雀搜索算法的具体内容，实现的伪代码如下：