题目 除数博弈
爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。
最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：
- 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
- 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。
只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。
示例 1：
输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：
输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。
提示：
1 <= N <= 1000
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game
思路
这个问题如果只是双方选最小的或者最大的除数进行博弈，那倒还不算难。但是例如4这种情况，如果爱丽丝先手用2除，那么她会输，如果用1的话，那爱丽丝就赢了。这个博弈至少要用动态规划的，确实不太简单。但还好题目给出来的N在1到1000之间，就算把1——1000所有情况都用表记录空间复杂度也不算太大。那么不妨使用动归的思路来看这道题：
如果此时N为1，那么轮到谁谁输。如果N为2，那么轮到谁谁赢。那么考虑一下3，3是个质数，因此只能去一个1变成2。因此轮到3的结果与轮到2的相反，2是轮到谁谁赢，3就是轮到谁谁输。然后考虑一下6，6的因数中有3，那么轮到6的时候，只要拿一个3，就会让对手陷入轮到3必输的情况，那么轮到6是获胜的。
那么其实可以得到这样的一个状态转移公式（不考虑N为1，2的情况）：
- f(i) = !f(i - 1) ——————i为质数
- f(i) = !min(f(i - 1), f(i - x1)…… f(i - xn)）——————i为合数，x1,……xn为i的因数。
考虑到这问题要使用动归而且时间复杂度还不算低，感觉不是一个简单的问题的样子，又或者也许有更简单的公式什么的方法吧。
代码实现
class Solution {
public:
Solution() {
dp_map[1] = false;
dp_map[2] = true;
dp_map[3] = false;
}
vector<int> dp_map = vector<int>(1001, -1);
bool divisorGame(int N) {
if (dp_map[N] != -1) {
return dp_map[N];
}
for (int i = 2; i < sqrt(N); i++) {
if (N % i == 0 && !divisorGame(N - i)) {
dp_map[N] = true;
return true;
}
}
if (!divisorGame(N - 1)) {
dp_map[N] = true;
return true;
}
dp_map[N] = false;
return false;
}
};
然后我看了眼官解，还真有公式，那就是为偶数Alice必胜，为奇数必败。那么只要一行代码就可以了：
class Solution {
public:
bool divisorGame(int N) {
return N % 2 == 0;
}
};