【SSL 1532】递推【矩阵乘法の变式】

递推

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$Case$ $Time$ $Limit:1000MS$

Description

动态规划的实现形式之一是递推，因此递推在oi中十分重要。在某信息学的分支学科中，LC学会了如何求一阶线性递推数列。由于他现在正在学习主干学科，因此希望知道求出N阶线性递推数列。为此，他了解到以下内容：
一个N阶线性递推式是这样的式子：
　 $$F_i=a_0\ast F_{i-n}+a_1\ast F_{i-(n-1)}+...+a_{n-1}\ast F_{i-1}+a_n$$
　　也就是说，这个数列的每一项都是由他之前的连续N项加权相加所得。其中还包括一个常数an。
　　例如，当$N=2，a_0=a_1=1，a_2=0$时，这个式子就是我们熟悉的斐波那契数列。当然，作为边界条件。$f_0，f_1，...f_{n-1}$都是已知的。Lc对如何去求这个式子一筹莫展，因此他想请你帮忙。你的任务是对于一个给定的N阶线性递推式，求出他的第k项。

Input

第一行两个整数：n，k。其中n表示这是一个N阶线性递推式，k表示你需要球的那一项。
第二行有n+1个整数：a0,a1,…an，表示这个递推式的系数。
第三行有n个整数：f0,f1,…,fn-1表示数列的初始值。

Output

只有一行，其中只有一个整数，表示这个数列第k项的值。由于数据较大，你只需输出$mod$ $9973$的值。

Sample Input

2 10
1 1 0
0 1

Sample Output

55

分析：

需要设一个$1\times (n+1)$的初始矩阵
前$n$项就是输入的$f_{i-1}$ 第$n+1$项就是$f_n$要加上的$a_n$
考虑构造$(n+1)\times (n+1)$的变换矩阵
第$n$项之前的所有$f_i$就直接变到$f_{i+1}$即可
到第$n$项时 公式是前面的$f_i$乘对应的系数 再加常数
所以把常数正常填进去 矩阵乘法法则就是乘上常数
$n+1$位直接加上常数 做$k$次快速幂因为从$f_0$开始

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define reg register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=11;
const int mod=9973;
ll n,k;
ll num[N];
struct matrix{
    
    
	ll n,m;
	ll F[N][N];
}A,B,C;
matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
    
    
	matrix ans;
	memset(ans.F,0,sizeof(ans.F));
	ans.m=a.m;ans.n=b.n;
	for(reg int k=1;k<=a.m;k++)
		for(reg int i=1;i<=ans.n;i++)
			for(reg int j=1;j<=ans.m;j++)
				ans.F[i][j]=(ans.F[i][j]+a.F[i][k]*b.F[k][j]%mod)%mod;  //矩阵乘
	return ans;
}
void ksm(ll x)
{
    
    
	if(x==1){
    
    
		B=A;
		return;
	}
	ksm(x>>1);
	B=B*B;
	if(x&1) B=B*A;
}
void Pre()
{
    
    
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(reg int i=1;i<=n+1;i++)
		scanf("%lld",&num[i]);
	C.n=1;C.m=n+1;
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&C.F[1][i]);  //前n项就是
	C.F[1][n+1]=num[n+1];  //n+1项就是常数
	A.n=n+1;A.m=n+1;
	for(reg int i=1;i<n;i++)
		A.F[i+1][i]=1;  //前面的fi直接转移
	for(int i=1;i<=n;i++)
		A.F[i][n]=num[i];  //乘上常数
	A.F[n+1][n]=1;A.F[n+1][n+1]=1;  //加上系数
} 
int main(){
    
    
	Pre();ksm(k);C=C*B;
	printf("%lld",C.F[1][1]);
	return 0;
}