【矩阵乘法】【SSL 1529】斐波拉契数列Ⅱ

【矩阵乘法】【SSL 1529】斐波拉契数列Ⅱ

题目

形如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…的数列,求裴波拉契数列的第$n$项。

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输入

$n$ (1〈 $n$ 〈2 ^ 31）

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输出

一个数为裴波拉契数列的第$n$项$mod$ 10000;

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样例

input
123456789

output
4514

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解题思路

矩阵乘法
两个矩阵$A$,$B$相乘
$tm$的积的长为$A$的长，宽为$B$的宽
$A$的第一行的数分别乘B的第一列的数的积的和为其积的第一行第一列的数
如图所示

本题写法
已知$f[n]=f[n-1]+f[n-2]$
如果要求$f[n+1]$
即$f[n+1]=f[n]+f[n-1]$
展开得$f[n+1]=f[n-1]+f[n-2]+f[n-1]$
可构建一个答案矩阵存储当前的$f[n-1]$和$f[n]$
现在的f[n]即下一次的$f[n-1]$
而下一次的$f[n]$为当期f[n]与$f[n-1]$的和
可构建矩阵

题目中$n$是2^31
可想到用快速幂解决

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代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mo=10000;
long long n;
struct hhx{
    
    
	long long n,m,h[5][5];
}a,b,x;
hhx operator * (hhx l,hhx y)  //重新定义乘号
{
    
    
	x.n=l.n,x.m=y.m;
	memset(x.h,0,sizeof(x.h));
	for (int k=1;k<=l.m;k++)
	    for (int i=1;i<=x.n;i++)
		    for (int j=1;j<=x.m;j++) 
		        x.h[i][j]=(x.h[i][j]+l.h[i][k]*y.h[k][j]%mo)%mo;
	return x;
}
void power(long long n)  //快速幂
{
    
     
	 if (n & 1) a=a*b;
	 if (n==1) return;
	 b=b*b; 
	 power(n/2);
}
int main()
{
    
    
	a.n=1,a.m=2;
	a.h[1][1]=a.h[1][2]=1;
	b.n=2,b.m=2;
	b.h[1][2]=b.h[2][1]=b.h[2][2]=1;  //赋值
	scanf("%lld",&n);
	power(n-1);
	printf("%lld",a.h[1][1]);
	return 0;
}