【SSL 2513】幼儿园数学题I【矩阵乘法&斐波那契】

幼儿园数学题I

$Time$ $Limit:10000MS$
$Memory$ $Limit:65536K$
$Case$ $Time$ $Limit:1000MS$

Description

某天，幼儿园学生LZH周测数学时吓哭了，一道题都做不出来。这下可麻烦了他马上就会成为垫底的0分啊。他的期望也不高，做出最简单的第一题就够了
题目是这样的，定义$F(n)=(根号5+1)/2{)}^{n-1}$ ,当然为了凸显题目的简单当然不能是小数分数或无理数,$F(x)$因此需要向上取整,当然求$F(n)$是非常难的!因此幼儿园园长头皮决定简单一点,求下$F(x)$的前n项和就行了。

Input

输入 一个正整数n（保证$1<=n<=2^{31}-1$）

Output

输出 一个正整数$S(n)$对$1000000007$ 取余就好了

Sample Input

样例输入1

1

样例输出1

1

样例输入2

2

样例输出2

2

$Tips:$暴力找规律

分析：

这个样例就很没用$\dots \dots$说了跟说了一样$xswl$
还有 题目描述的公式不完整
其实 一看到什么$(\surd 5+1)/2\dots \dots$
就能想到$Fibonacci$数列通项公式好吧
然后交一波直接过了
百科

完整的为：

所以一个矩阵乘法求前$n$项之和就可以了(多$solve$)
具体思路：$link$

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
long long n;
struct matrix{
    
    
	long long n,m;
	long long F[5][5];
}A,B,C;
matrix operator *(matrix x,matrix y)
{
    
    
	matrix AwA;
	AwA.n=x.n;AwA.m=y.m;
	for(int i=1;i<=AwA.n;i++)
		for(int j=1;j<=AwA.m;j++)
			AwA.F[i][j]=0;
	for(int k=1;k<=x.m;k++)
		for(int i=1;i<=x.n;i++)
			for(int j=1;j<=y.m;j++)
				AwA.F[i][j]=(AwA.F[i][j]+x.F[i][k]*y.F[k][j]%mod)%mod;  //矩阵乘
	return AwA; 
}
void ksm(long long x){
    
    
	if(x==1){
    
    
		B=A;
		return;
	}
	ksm(x/2);
	B=B*B;  //快速幂
	if(x&1) B=B*A;
}
int main(){
    
    
	scanf("%lld",&n);
	A.n=3;A.m=3;
	A.F[1][1]=0;A.F[1][2]=1;A.F[1][3]=0;
	A.F[2][1]=1;A.F[2][2]=1;A.F[2][3]=1;  //初始
	A.F[3][1]=0;A.F[3][2]=0;A.F[3][3]=1;
	if(n==1){
    
    
		printf("1");
		return 0;
	}
	else{
    
    
		C.n=1;C.m=3;
		C.F[1][1]=1;C.F[1][2]=1;C.F[1][3]=1;
		ksm(n-1);
		C=C*B;
		printf("%lld",C.F[1][3]);
	}
	return 0;
}