【SSL 1531】斐波那契数列IV【矩阵乘法】

斐波拉契数列IV

$TimeLimit:1000MS$
$MemoryLimit:65536K$

Description

求数列$f[n]=f[n-2]+f[n-1]+n+1$的第$N$项,其中$f[1]=1,f[2]=1$.

Input

$N(\mathrm{１}＜Ｎ＜2^{31-1})$

Output

第$n$项结果 $mod$ $9973$

Sample Input

10000

Sample Output

4399

分析：

矩阵乘法即可
可移步至这里和这里玩玩呀
还是 与其他变式类似 考虑$[f_{n-2},f_{n-1},n,1]$
乘上某矩阵后 $[f_{n-1},f_n,n,1]$ 变为
$$[f_{n-1},f_{n-2}+f_{n-1},n+1,1]$$
不难得出 该矩阵为：
$$0,1,0,0$$

$$1,1,0,0$$

$$0,1,1,0$$

$$0,1,1,1$$
设的矩阵初始状态为$[1,1,3,1]$ 因为$n$是从第$3$项开始

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=9973;
int n;
struct matrix{
    
    
	int n,m;
	long long F[11][11];
}A,B,C;
matrix operator *(matrix x,matrix y)
{
    
    
	matrix AwA;
	AwA.n=x.n;AwA.m=y.m;
	for(int i=1;i<=AwA.n;i++)
		for(int j=1;j<=AwA.m;j++)
			AwA.F[i][j]=0;
	for(int k=1;k<=x.m;k++)
		for(int i=1;i<=x.n;i++)
			for(int j=1;j<=y.m;j++)
				AwA.F[i][j]=(AwA.F[i][j]+x.F[i][k]*y.F[k][j]%mod)%mod;  //矩阵乘
	return AwA; 
}
void ksm(int x){
    
    
	if(x==1){
    
    
		B=A;
		return;
	}
	ksm(x/2);
	B=B*B;  //快速幂
	if(x&1) B=B*A;
}
int main(){
    
    
	scanf("%d",&n);
	A.n=4;A.m=4;
	A.F[1][1]=0;A.F[1][2]=1;A.F[1][3]=0;A.F[1][4]=0;
	A.F[2][1]=1;A.F[2][2]=1;A.F[2][3]=0;A.F[2][4]=0;  //乘的矩阵A
	A.F[3][1]=0;A.F[3][2]=1;A.F[3][3]=1;A.F[3][4]=0;
	A.F[4][1]=0;A.F[4][2]=1;A.F[4][3]=1;A.F[4][4]=1;
	if(n<=2){
    
    
		printf("1");
		return 0;
	}else{
    
    
		C.n=1;C.m=4;
		C.F[1][1]=1;C.F[1][2]=1;C.F[1][3]=3;C.F[1][4]=1;  //初始矩阵
		ksm(n-1);
		C=C*B;
		printf("%d",C.F[1][1]);
	}
	return 0;
}