【SSL 1532】递推【矩阵乘法】

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Description

动态规划的实现形式之一是递推，因此递推在$oi$中十分重要。在某信息学的分支学科中，LC学会了如何求一阶线性递推数列。由于他现在正在学习主干学科，因此希望知道求出$N$阶线性递推数列。为此，他了解到以下内容：
一个N阶线性递推式是这样的式子：
　 $F1=a_0\ast F_{i-n}+a1\ast F_{i-(n-1)}+...+a_{n-1}\ast F_{i-1}+a_n$
　　也就是说，这个数列的每一项都是由他之前的连续N项加权相加所得。其中还包括一个常数$an$。
　　例如，当$N=2，a0=a1=1，a2=0$时，这个式子就是我们熟悉的斐波那契数列。当然，作为边界条件。$f0，f1，...fn-1$都是已知的。
　　Lc对如何去求这个式子一筹莫展，因此他想请你帮忙。你的任务是对于一个给定的N阶线性递推式，求出他的第k项。

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Input

第一行两个整数：$n，k$。其中n表示这是一个N阶线性递推式，k表示你需要球的那一项。
第二行有$n+1$个整数：$a_0,a_1,....a_n$，表示这个递推式的系数。
第三行有n个整数：$f_0,f_1,....,f_n-1$表示数列的初始值。

Output

只有一行，其中只有一个整数，表示这个数列第k项的值。由于数据较大，你只需输出$mod$ $9973$的值。

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Sample Input

2 10
1 1 0
0 1

Sample Output

55

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Hint

对于$50$%的数据 $n<=k<=10^6$
对于$100$%的数据
$1<=n<=k<=10^{1}8$
$1<=ai,fi<=10^4$

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解题思路

矩阵乘法呀

$F1=a_0\ast F_{i-n}+a1\ast F_{i-(n-1)}+...+a_{n-1}\ast F_{i-1}+a_n$
由题意，我们构造 $1\ast (n+1)1\ast (n+1)和(n+1)\ast (n+1)$ 的两个矩阵

按照之前的构造思路
第一个矩阵设为$\left[\begin{array}{ccccc}f1& f2& ...& fn& 1\end{array}\right]$

从 $f_1\to f_2$ ，可以推出第二个矩阵为$\left[\begin{array}{cccccccc}& 0& 0& ...& 0& a_0& 0& \\ & 1& 0& ...& 0& a_1& 0& \\ & 0& 1& ...& 0& a_2& 0& \\ & & & ...& & & & \\ & & & ...& & & & \\ & 0& 0& ...& 1& a_{n-1}& 0& \\ & 0& 0& ...& 0& a_n& 1& \end{array}\right]$

因为中间的项转移到下一个矩阵，需要全部向前移一位

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long INF=9973;
long long n,k;
struct c{
    
    
	long long n,m;
	long long a[20][20];
}A,B,CC; 

c operator *(c A,c B){
    
    
	c C;
	C.n=A.n,C.m=B.m;
	for(int i=1;i<=C.n;i++)
		for(int j=1;j<=C.m;j++)
			C.a[i][j]=0;
	for(int k=1;k<=A.m;k++)
		for(int i=1;i<=C.n;i++)
			for(int j=1;j<=C.m;j++)
				C.a[i][j]=(C.a[i][j]+(A.a[i][k]*B.a[k][j]%INF))%INF;
	return C;
}
void poww(long long x){
    
    
	if(x==1)
	{
    
    
		B=A;
		return ;
	}
	poww(x/2);
	B=B*B;
	if(x&1)
		B=B*A;
}
int main(){
    
    
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	A.n=n+1,A.m=n+1;
	CC.n=1,CC.m=n+1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		scanf("%lld",&A.a[i][n]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&CC.a[1][i]);
	CC.a[1][n+1]=1;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		A.a[i+1][i]=1;
	A.a[n+1][n+1]=1;
	poww(k);
	CC=CC*B;
	printf("%lld",CC.a[1][1]);
} 
/*
2 10
1 1 0
0 1
*/