【SSL1529】斐波那契数列II【矩阵乘法】

分析

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据fibonacci数列的递推关系，我们希望通过乘以一个2×2的矩阵，得到矩阵【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】很容易构造出这个2×2矩阵A，即：

所以，有$【f[1],f[2]】\times A＝【f[2],f[3]】$又因为矩阵乘法满足结合律，故有：$【f[1],f[2]】\times An-1=【f[n],f[n+1]】$
这个矩阵的第一个元素即为所求。

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=10000;
ll n;

struct matrix
{
    
    
	ll m,n;//长，宽 
	ll f[20][20];//矩阵 
}st,A,B;

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
    
    
	matrix C;
	C.n=a.n;C.m=b.m;
	for(int i=1;i<=C.n;i++)
	{
    
    
		for(int j=1;j<=C.m;j++)
		{
    
    
			C.f[i][j]=0;
		}
	}
	for(int k=1;k<=a.m;k++)
	{
    
    
		for(int i=1;i<=a.n;i++)
		{
    
    
			for(int j=1;j<=b.m;j++)
			{
    
    
				C.f[i][j]=(C.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return C;
}

void ksm(ll x)//递归写法 
{
    
    
	if(x==1)
	{
    
    
		A=st;
		return;
	}
	ksm(x/2);
	A=A*A;
	if(x&1) A=A*st;
}

int main()
{
    
    
	cin>>n;
	st.n=2;st.m=2;
	st.f[1][1]=0;st.f[1][2]=1;
	st.f[2][1]=1;st.f[2][2]=1;
	if(n<=2)
	{
    
    
		cout<<1;
		return 0;
	}
	else
	{
    
    
		B.m=2;B.n=1;
		B.f[1][1]=1;B.f[1][2]=1;
		ksm(n-1);
		B=B*A;
		cout<<B.f[1][1];
	}
	return 0;
}