【SSL2514】幼儿园数学题II【矩阵乘法】

分析

把原式化为：
$$f_n=(n+4)(n-1)/2+f_3+f_4+f_5+...+f_{n-3}+f_{n-2}$$

再把$(n+4)(n-1)/2$展开 得到$(n^2+3n-4)/2$ 化为$n^2/2+3n/2-2$
带入原式：

$$f_n=f_3+f_4+f_5+...+f_n-3+f_{n-2}+n^2/2+3n/2-2$$

我们再对比$f_{n+1}$

同理可得：

$$f_{n+1}=f_3+f_4+f_5+...+f_{n-3}+f_{n-2}+f_{n-1}+(n+1+4)(n+1-1)/2$

把$(n+1+4)(n+1-1)/2$化为$[(n+5)n]/2$ 得出$n^2/2+5n/2$

代入原式：
$$f_{n+1}=f_3+f_4+f_5+...+f_{n-3}+f_{n-2}+f_{n-1}+n^2/2+5n/2$$

$f_{n+1}$ 相比$f_n$
​
多出了$f_{n-1}+n+2$

$\therefore f_{n+1}$就等于$f_n+f_{n-1}+n+2$也等于$f_n+f_{n-1}+(n+1)+1$

那么：
$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}+n+1$$

得出这个结论后 我们直接做矩阵乘法即可 与之前一道例题类似。

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
ll n;

struct matrix
{
    
    
	ll n,m;
	ll f[20][20];
}st,A,B;

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
    
    
	matrix c;
	c.n=a.n;c.m=b.m;
	for(int i=1;i<=c.n;i++)
	{
    
    
		for(int j=1;j<=c.m;j++)
		{
    
    
			c.f[i][j]=0;
		}
	}
	for(int k=1;k<=a.m;k++)
	{
    
    
		for(int i=1;i<=a.n;i++)
		{
    
    
			for(int j=1;j<=b.m;j++)
			{
    
    
				c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
void ksm(ll x)
{
    
    
	x--;
	A=st;
	while(x)
	{
    
    
		if(x&1) A=A*st;
		st=st*st;
		x>>=1;
	}
}

int main()
{
    
    
	cin>>n;
	st.n=5;st.m=5;
	st.f[1][1]=0,st.f[1][2]=1,st.f[1][3]=0,st.f[1][4]=0,st.f[1][5]=0;
	st.f[2][1]=1,st.f[2][2]=1,st.f[2][3]=1,st.f[2][4]=0,st.f[2][5]=0;
	st.f[3][1]=0,st.f[3][2]=0,st.f[3][3]=1,st.f[3][4]=0,st.f[3][5]=0;
	st.f[4][1]=0,st.f[4][2]=1,st.f[4][3]=0,st.f[4][4]=1,st.f[4][5]=0;
	st.f[5][1]=0,st.f[5][2]=1,st.f[5][3]=0,st.f[5][4]=1,st.f[5][5]=1;
	if(n==1) 
	{
    
    
	    cout<<1;
		return 0;	
	}
	else
	{
    
    
		B.n=1;B.m=5;
		B.f[1][1]=1;B.f[1][2]=1;B.f[1][3]=1;B.f[1][4]=3;B.f[1][5]=1;
		ksm(n-1);
		B=B*A;
		cout<<B.f[1][3];
	}
	return 0;
}