矩阵乘法加速递推

版权声明：转载无所谓的。。。 https://blog.csdn.net/xuxiayang/article/details/82529867

学习本算法最好有一定的数学基础

引入

先来看一下这样一道题：

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给定递推式

$$f[i]=f[i-2]+f[i-1]+i+1$$

若$f[1]=f[2]=1$求$f[n](n<=1e9)$

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看到数据范围，可能会感觉无从下手，推算$f$也发现并不能找到规律，这个时候我们怎么办呢？
这就衍生除了一个强大的算法——矩阵乘法

先看概念

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概念

设$A$是$n\times m$的矩阵，当且仅当$B$是$m\times n$的矩阵时，它们可以进行矩阵乘法，它们的积是一个$n\times n$的矩阵$C$

解题

那这有什么用呢？我们重新看回上面那道题

$$f[i]=f[i-2]+f[i-1]+i+1$$

观察发现，其实当我们要往下一步进行推算时，每个项都有相应的变化，即
第一项$f[i-2]$->$f[i-1]$
第二项$f[i-1]$->$f[i]$->$f[i-2]+f[i-1]+n+1$
第三项$i$->$i+1$
第四项$1$不变

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也就是说，它们之间是具有互相递推的关系的，我们就可以用矩阵乘法对应每个项的系数即可

最后因为矩阵乘法满足结合律，所以我们可以先算出中间矩阵的$n$次方，求解即可

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详细解法见：https://blog.csdn.net/xuxiayang/article/details/82021171