【矩阵乘法】【快速幂】递推

Description

.　　动态规划的实现形式之一是递推，因此递推在oi中十分重要。在某信息学的分支学科中，LC学会了如何求一阶线性递推数列。由于他现在正在学习主干学科，因此希望知道求出N阶线性递推数列。为此，他了解到以下内容：
一个N阶线性递推式是这样的式子：
　 $F_i=a_0\ast F_{i-n}+a_1\ast F+i-(n-1)+...+a_{n-1}\ast F_{i-1}+a_n$
　　也就是说，这个数列的每一项都是由他之前的连续N项加权相加所得。其中还包括一个常数an。
　　例如，当N=2，a0=a1=1，a2=0时，这个式子就是我们熟悉的斐波那契数列。当然，作为边界条件。f0，f1，…fn-1都是已知的。
　　Lc对如何去求这个式子一筹莫展，因此他想请你帮忙。你的任务是对于一个给定的N阶线性递推式，求出他的第k项。

Input

第一行两个整数：n，k。其中n表示这是一个N阶线性递推式，k表示你需要球的那一项。
第二行有n+1个整数：a0,a1,…an，表示这个递推式的系数。
第三行有n个整数：f0,f1,…,fn-1表示数列的初始值。

Output

只有一行，其中只有一个整数，表示这个数列第k项的值。由于数据较大，你只需输出mod 9973的值。

Sample Input

2 10
1 1 0
0 1

Sample Output

55

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解题思路

那我真的很失语啊，运行内存爆了一直RE，我以为是我数组开小了: )

首先构造初始矩阵
（为了方便理解所以从$1$开始存，一共$n$个数那么数组大小应该是$1\ast (n+1)$）
$A=\left[\begin{array}{ccccc}f[1]& f[2]& ...& f[n]& 1\end{array}\right]$

然后构造一个转移矩阵
大小设为$(n+1)\ast (n+1)$

1. $F_i=a_0\ast F_{i-n}+a_1\ast F+i-(n-1)+...+a_{n-1}\ast F_{i-1}+a_n$
   算$f[n+1]$时所用的数是$f[1]f[2]...f[n]$
   算$f[n+2]$时所用的数是$f[2]f[3]...f[n+1]$
   所有数向前推一位，第一个数直接推掉不用
   $B=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& & \\ 1& 0& 0& & \\ 0& 1& 0& & \\ 0& 0& ...& & \\ 0& 0& ...& & \end{array}\right]$

2. 最后一个数更新为$f_n$
   $B=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& a_1& \\ 1& 0& 0& a_2& \\ 0& 1& 0& a_3& \\ 0& 0& ...& ...& \\ 0& 0& ...& a_n& \end{array}\right]$
   这个时候$A$矩阵中最后一个$1$的作用就体现出来了，因为要乘上一个$a_n$

3. 最后一列用来传递最后的那个$1$
   $B=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& a_1& 0\\ 1& 0& 0& a_2& 0\\ 0& 1& 0& a_3& 0\\ 0& 0& ...& ...& 0\\ 0& 0& ...& a_n& 1\end{array}\right]$

问题转换成 $ans=A\ast B^k$，然后输出$ans[1][1]$
但是$A$里面包含了$f[1]..f[n]$，所以$ans$其实算出了$f[n+1]..f[n+k]$
那么$ans=A\ast B^{k-n+1}$，输出$ans[1][n]$

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Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

const int Mod = 9973;
struct DT{
    
    
	int n, m;
	ll aed[20][20];
}A, B, ans;
int n;
ll k;

DT operator *(DT a, DT b){
    
    //矩阵乘法
	DT c;
	memset (c.aed, 0, sizeof (c.aed));
	c.n = a.n, c.m = b.m;
	for (int k = 1; k <= a.m; k++)
		for (int i = 1; i <= c.n; i++)
			for (int j = 1; j <= c.m; j++)
				c.aed[i][j] = (c.aed[i][j] + a.aed[i][k] * b.aed[k][j] % Mod) % Mod;
	return c;
}

void power (ll x){
    
    
	if (x == 1)
	{
    
    
		B = A;
		return;
	}
	power (x / 2);
	B = B * B;
	if (x % 2) B = B * A;
}

int main(){
    
    
	scanf ("%d%lld", &n, &k);
	A.n = n + 1, A.m = n + 1;//此处的A不是思路中的A，A和B都是用来算幂的
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++)
	{
    
    
		scanf ("%lld", &A.aed[i][n]);//a数组放入转移矩阵
		A.aed[i][n] %= Mod;
	}
	for (int i = 1; i < n; i++)
		A.aed[i + 1][i] = 1;//转移f
	A.aed[n + 1][n + 1] = 1;//转移最后一个1
	power (k - n + 1);//快速幂
	
	ans.n = 1, ans.m = n + 1;//这个ans是思路中的初始矩阵A和答案矩阵ans
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
    
    
		scanf ("%lld", &ans.aed[1][i]);
		ans.aed[1][i] %= Mod; 
	}
	ans.aed[1][n + 1] = 1;
	ans = ans * B;
	printf ("%lld", ans.aed[1][n]);	
}