2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分

1. 背景

前段时间复习完了高数第五章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 定积分

2.1. 定积分的定义

• 定义：

$\int_a^{b} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}}$

其中 $\lambda = max\{\Delta x_i\}, i\in [1, n]$， $\xi_i$为在 $[x_{i - 1}, x_i]$上任取的一点。

• 利用定积分求极限：

若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$ 存在，将 $[0, 1]$区间等分，此时 $\Delta x_i = \dfrac{1}{n}$， 取 $\xi_i = \dfrac{1}{n}$， 由定积分的定义得

$\int_0^{1} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} = \lim\limits_{n \to \infty}{f(\frac{i}{n})}$

2.2. 定积分的性质

2.3. 积分上限函数

• 定义：

变上限的积分 $\displaystyle \int_a^{b} {f(x)} dx$是其上限的函数，常称之为积分上限函数。

• 定理：

如果 $f(x)$在区间 $[a, b]$上连续，则

$( \int_{a}^{x} f(t) dt )' = f(x)$

如果$ f(x) $为$[a, b] $上的连续函数，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数，则

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$( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt )' = f[ \varphi_2(x) ] \cdot \varphi_2'(x) - f[ \varphi_1(x) ] \cdot \varphi_1'(x)$

2.4. 定积分的计算

2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式

设 $f(x)$在 $[a, b]$上连续， $F(x)$为 $f(x)$在 $[a, b]$上的一个原函数，则有

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt$

2.4.2. 换元积分法

2.4.3. 分部积分法

$\int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_a^b - \int_{a}^{b} v du$

2.4.4. 利用奇偶性和周期性

2.4.5. 利用已有公式

3. 反常积分

3.1. 无穷区间上的反常积分

定义：

1. 设 $f(x)$ 为 $[a, \infty]$ 上的连续函数，如果极限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$ 存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 $[a, \infty]$ 上的反常积分，记作 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$，即

$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$

这时也称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

2. 设 $f(x)$ 为 $[-\infty, b]$ 上的连续函数，则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[-\infty, b]$ 上的反常积分

$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$

3. 设 $f(x)$ 为 $[-\infty, +\infty]$ 上的连续函数，如果反常积分

$\int_{-\infty}^{0} f(x) dx \text{和} \int_{0}^{+\infty} f(x) dx$

都收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，且

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx$

如果至少有一个发散，则称 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

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常用结论：

$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p > 1 & , \text{发散} \\ p \le 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }, (a>0)$

3.2. 无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那么点 $a$ 称为 函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也称为瑕积分。

定义：

1. 设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为函数的瑕点。如果极限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 $[a, b]$ 上的反常积分，记作 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx$，即

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$

这时也称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

2. 设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的反常积分

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$

3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上除 $c$ 点外连续，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的反常积分

$\int_{a}^{c} f(x) dx \text{和} \int_{c}^{b} f(x) dx$

都收敛，则称反常积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 收敛，且

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$

如果至少有一个发散，则称 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 发散。

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常用结论：

$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }$

$\int_{a}^{b} \frac{1}{(b-x)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }$